I et "ligningssystem" blir du bedt om å løse to eller flere ligninger samtidig. Når de to ligningene har to forskjellige variabler, for eksempel x og y, kan løsningen virke vanskelig i begynnelsen. Heldigvis, når du vet hva du trenger å gjøre, kan du ganske enkelt bruke dine algebraiske ferdigheter (og vitenskapen om å beregne brøker) for å løse problemet. Lær også hvordan du tegner disse to ligningene hvis du er en visuell elev, eller er påkrevd av læreren. Tegninger hjelper deg med å identifisere emnet eller sjekke resultatene av arbeidet ditt. Imidlertid er denne metoden tregere enn de andre metodene, og kan ikke brukes for alle ligningssystemer.
Steg
Metode 1 av 3: Bruke substitusjonsmetoden
Trinn 1. Flytt variablene til motsatt side av ligningen
Substitusjonsmetoden starter med å "finne verdien av x" (eller en annen variabel) i en av ligningene. La oss for eksempel si at ligningen av problemet er 4x + 2y = 8 og 5x + 3y = 9. Start med å jobbe med den første ligningen. Omorganiser ligningen ved å trekke fra 2y på begge sider. Dermed får du 4x = 8 - 2y.
Denne metoden bruker ofte brøk på slutten. Hvis du ikke liker å telle brøk, kan du prøve eliminasjonsmetoden nedenfor
Trinn 2. Del begge sider av ligningen for å "finne verdien av x"
Når begrepet x (eller hvilken variabel du bruker) er alene på den ene siden av ligningen, deler du begge sider av ligningen med koeffisientene slik at bare variabelen gjenstår. Som et eksempel:
- 4x = 8 - 2y
- (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
- x = 2 - y
Trinn 3. Koble x -verdien fra den første ligningen til den andre ligningen
Sørg for å koble den til den andre ligningen, i stedet for den du nettopp jobbet med. Erstatt (erstatt) variabelen x i den andre ligningen. Dermed har den andre ligningen nå bare en variabel. Som et eksempel:
- Er kjent x = 2 - y.
- Din andre ligning er 5x + 3y = 9.
- Etter å ha byttet x -variabelen i den andre ligningen med x -verdien fra den første ligningen, får vi "2 - y": 5 (2 - y) + 3y = 9.
Trinn 4. Løs de resterende variablene
Nå har ligningen din bare en variabel. Beregn ligningen med vanlige algebraiske operasjoner for å finne verdien av variabelen. Hvis de to variablene avbryter hverandre, hopper du rett til det siste trinnet. Ellers får du en verdi for en av variablene:
- 5 (2 - y) + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Hvis du ikke forstår dette trinnet, kan du lære hvordan du legger til brøk.)
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
Trinn 5. Bruk det oppnådde svaret for å finne den sanne verdien av x i den første ligningen
Ikke stopp ennå fordi beregningene dine ikke er gjort ennå. Du må koble det oppnådde svaret til den første ligningen for å finne verdien av de resterende variablene:
- Er kjent y = -2
- En av ligningene i den første ligningen er 4x + 2y = 8. (Du kan bruke en av dem.)
- Erstatt y -variabelen med -2: 4x + 2 (-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
Trinn 6. Vet hva du skal gjøre hvis de to variablene avbryter hverandre
Når du går inn x = 3y+2 eller et lignende svar på den andre ligningen, noe som betyr at du prøver å få en ligning som bare har en variabel. Noen ganger får du bare ligningen uten variabel. Dobbeltsjekk arbeidet ditt, og kontroller at du har satt (omordnet) ligning én til ligning to, i stedet for å gå tilbake til den første ligningen. Når du er sikker på at du ikke har gjort noe galt, skriver du ett av følgende resultater:
- Hvis ligningen ikke har noen variabler og ikke er sann (for eksempel 3 = 5), er dette problemet har ikke noe svar. (Når dette er tegnet, er disse to ligningene parallelle og møtes aldri.)
- Hvis ligningen ikke har variabler og Riktig, (f.eks. 3 = 3), noe som betyr at spørsmålet har ubegrensede svar. Ligning en er nøyaktig den samme som ligning to. (Når de er grafisk, er disse to ligningene samme linje.)
Metode 2 av 3: Bruke eliminasjonsmetoden
Trinn 1. Finn de gjensidig utelukkende variablene
Noen ganger er ligningen i problemet allerede avbryte hverandre når den legges sammen. For eksempel, hvis du gjør ligningen 3x + 2y = 11 og 5x - 2y = 13vil begrepene "+2y" og "-2y" avbryte hverandre og fjerne variabelen "y" fra ligningen. Se på ligningen i problemet, og se om det er variabler som avbryter hverandre, som i eksemplet. Hvis ikke, fortsett til neste trinn.
Trinn 2. Multipliser ligningen med en slik at en variabel fjernes
(Hopp over dette trinnet hvis variablene allerede avbryter hverandre.) Hvis ligningen ikke har variabler som avbryter seg selv, må du endre en av ligningene slik at de kan avbryte hverandre. Ta en titt på følgende eksempler, slik at du enkelt kan forstå dem:
- Ligningene i problemet er 3x - y = 3 og - x + 2y = 4.
- La oss endre den første ligningen slik at variabelen y avbryte hverandre. (Du kan bruke variabelen x. Det endelige svaret som oppnås vil være det samme.)
- Variabel - y i den første ligningen må elimineres med + 2y i den andre ligningen. Hvordan, multipliser - y med 2.
- Multipliser begge sider av ligningen med 2, som følger: 2 (3x - y) = 2 (3), så 6x - 2y = 6. Nå, stamme - 2 år vil avbryte hverandre med +2y i den andre ligningen.
Trinn 3. Kombiner de to ligningene
Trikset er å legge høyre side av den første ligningen til høyre side av den andre ligningen, og legge venstre side av den første ligningen til venstre side av den andre ligningen. Hvis det gjøres riktig, vil en av variablene avbryte hverandre. La oss prøve å fortsette beregningen fra forrige eksempel:
- Dine to ligninger er 6x - 2y = 6 og - x + 2y = 4.
- Legg til venstre side av de to ligningene: 6x - 2y - x + 2y =?
- Legg til høyre side av de to ligningene: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
Trinn 4. Få den siste variabelverdien
Forenkle din sammensatte ligning, og arbeid med standardalgebra for å få verdien av den siste variabelen. Hvis ligningen ikke har noen variabler etter forenkling, fortsett til det siste trinnet i denne delen.
Ellers får du en verdi for en av variablene. Som et eksempel:
- Er kjent 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- Gruppevariabler x og y sammen: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- Forenkle ligningen: 5x = 10
- Finn x -verdien: (5x)/5 = 10/5, for å oppnå x = 2.
Trinn 5. Finn verdien av en annen variabel
Du har funnet verdien av den ene variabelen, men hva med den andre? Koble svaret ditt til en av ligningene for å finne verdien av den gjenværende variabelen. Som et eksempel:
- Er kjent x = 2, og en av ligningene i problemet er 3x - y = 3.
- Erstatt x -variabelen med 2: 3 (2) - y = 3.
- Finn verdien av y i ligningen: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, så 6 = 3 + y
- 3 = y
Trinn 6. Vet hva du skal gjøre når de to variablene avbryter hverandre
Noen ganger resulterer kombinasjon av to ligninger i en ligning som ikke gir mening, eller som ikke hjelper deg med å løse problemet. Gjennomgå arbeidet ditt, og hvis du er sikker på at du ikke gjorde noe galt, skriver du ett av følgende to svar:
- Hvis den kombinerte ligningen ikke har noen variabler og ikke er sant (for eksempel 2 = 7), er dette problemet har ikke noe svar. Dette svaret gjelder for begge ligningene. (Når dette er tegnet, er disse to ligningene parallelle og møtes aldri.)
- Hvis den kombinerte ligningen ikke har variabler og Riktig, (f.eks. 0 = 0), noe som betyr at spørsmålet har ubegrensede svar. Disse to ligningene er identiske med hverandre. (Når de er grafisk, er disse to ligningene samme linje.)
Metode 3 av 3: Tegn en diagram over ligninger
Trinn 1. Utfør denne metoden bare når du blir bedt om det
Med mindre du bruker en datamaskin eller en grafisk kalkulator, kan denne metoden bare gi omtrentlige svar. Læreren eller læreboken din kan fortelle deg å bruke denne metoden for å bli vant til å tegne ligninger som linjer. Denne metoden kan også brukes til å kontrollere svaret på en av metodene ovenfor.
Hovedideen er at du må beskrive de to ligningene og finne skjæringspunktet. Verdien av x og y på dette skjæringspunktet er svaret på problemet
Trinn 2. Finn y-verdiene til begge ligningene
Ikke kombiner de to ligningene, og endre hver ligning slik at formatet er "y = _x + _". Som et eksempel:
- Din første ligning er 2x + y = 5. Endre til y = -2x + 5.
- Din første ligning er - 3x + 6y = 0. Endre til 6y = 3x + 0, og forenkle til y = x + 0.
- Hvis de to likningene dine er nøyaktig like, hele linjen er "skjæringspunktet" mellom de to ligningene. Skrive ubegrensede svar som et svar.
Trinn 3. Tegn koordinataksene
Tegn en vertikal "y-akse" -linje og en horisontal "x-akse" -linje på grafpapiret. Start fra punktet der de to aksene krysser hverandre (0, 0), og skriv ned talletikettene 1, 2, 3, 4, og så videre pekende opp på y-aksen, og peker til høyre på x-aksen. Etter det skriver du ned talletikettene -1, -2, og så videre og peker nedover på y -aksen, og peker til venstre på x -aksen.
- Hvis du ikke har grafpapir, bruker du en linjal for å kontrollere at avstanden mellom hvert tall er nøyaktig det samme.
- Hvis du bruker store tall eller desimaler, anbefaler vi å skalere grafen (f.eks. 10, 20, 30 eller 0, 1, 0, 2, 0, 3 i stedet for 1, 2, 3).
Trinn 4. Tegn y-skjæringspunktet for hver ligning
Hvis ligningen er i formen y = _x + _, kan du begynne å tegne en graf ved å lage punktet der ligningslinjen krysser y-aksen. Verdien av y er alltid den samme som det siste tallet i ligningen.
-
Fortsetter det forrige eksemplet, den første linjen (y = -2x + 5) skjærer y-aksen kl
Trinn 5.. andre linje (y = x + 0) skjærer y-aksen kl 0. (Disse punktene er skrevet som (0, 5) og (0, 0) på grafen.)
- Hvis det er mulig, tegner du den første og andre linjen med forskjellige fargede penner eller blyanter.
Trinn 5. Bruk skråningen for å fortsette linjen
I ligningsformat y = _x + _, tallet foran x angir linjens “stigningsnivå”. Hver gang x økes med en, vil verdien av y øke med antall skråningsnivåer. Bruk denne informasjonen til å finne punktene for hver linje på grafen når x = 1. (Du kan også skrive inn x = 1 i hver ligning og finne verdien av y.)
- Fortsetter forrige eksempel, linjen y = -2x + 5 har en skråning på - 2. Ved punkt x = 1 beveger linjen seg ned med 2 fra punktet x = 0. Tegn en linje som forbinder (0, 5) med (1, 3).
- Linje y = x + 0 har en skråning på ½. Ved x = 1 beveger linjen seg ri fra punktet x = 0. Tegn en linje som forbinder (0, 0) med (1,).
- Hvis to linjer har samme stigning, vil de to aldri krysses. Dermed har dette ligningssystemet ikke noe svar. Skrive ingen svar som et svar.
Trinn 6. Fortsett å koble linjene til de to linjene krysser hverandre
Stopp arbeidet og ta en titt på grafen din. hvis de to linjene har krysset hverandre, fortsett til neste trinn. Hvis ikke, ta en avgjørelse basert på posisjonen til de to linjene dine:
- Hvis de to linjene nærmer seg hverandre, fortsetter du å koble prikkene på stripene dine.
- Hvis de to linjene beveger seg bort fra hverandre, går du tilbake og kobler prikkene i motsatte retninger, og starter med x = 1.
- Hvis de to linjene er veldig langt fra hverandre, kan du prøve å hoppe over og koble punktene lenger unna, for eksempel x = 10.
Trinn 7. Finn svaret ved skjæringspunktet
Etter at de to linjene krysser hverandre, er verdien av x og y på det tidspunktet svaret på problemet ditt. Hvis du er heldig, vil svaret være et helt tall. For eksempel, i vårt eksempel, krysser de to linjene på punktet (2, 1) så svaret er x = 2 og y = 1. I noen ligningssystemer er punktet der linjen krysser mellom to hele tall, og hvis grafen ikke er veldig nøyaktig, er det vanskelig å finne ut hvor x- og y -verdiene er i skjæringspunktet. Hvis tillatt, kan du skrive "x er mellom 1 og 2" som svaret, eller bruke substitusjons- eller eliminasjonsmetoden for å finne svaret.
Tips
- Du kan sjekke arbeidet ditt ved å koble svarene til den opprinnelige ligningen. Hvis ligningen viser seg å være sann (f.eks. 3 = 3), betyr det at svaret ditt er riktig.
- Når du bruker eliminasjonsmetoden, må du noen ganger multiplisere ligningen med et negativt tall slik at variablene kan avbryte hverandre.
