En kvadratisk ligning er en ligning hvis høyeste grad er 2 (kvadrat). Det er tre hovedmåter for å løse en kvadratisk ligning: factoring den kvadratiske ligningen hvis du kan, ved å bruke en kvadratisk formel, eller fullføre kvadratet. Hvis du vil mestre disse tre metodene, følger du disse trinnene.
Steg
Metode 1 av 3: Factoring Equations
Trinn 1. Kombiner alle like variabler og flytt dem til den ene siden av ligningen
Det første trinnet for å faktorisere en ligning er å flytte alle like variabler til den ene siden av ligningen, med x2er positiv. For å kombinere variabler, legg til eller trekk fra alle variablene x2, x og konstanter (heltall), flytt dem til den andre siden av ligningen slik at ingenting blir igjen på den andre siden. Når den andre siden ikke har noen variabler igjen, skriver du en 0 ved siden av likhetstegnet. Slik gjør du det:
- 2x2 - 8x - 4 = 3x - x2
- 2x2 +x2 - 8x -3x - 4 = 0
- 3x2 - 11x - 4 = 0
Trinn 2. Faktor denne ligningen
For å faktorisere denne ligningen må du bruke faktoren x2 (3) og den konstante faktoren (-4), multiplisere dem og legge dem til for å passe til variabelen i midten, (-11). Slik gjør du det:
- 3x2 har bare en mulig faktor som er, 3x og x, kan du skrive dem i parentes: (3x +/-?) (x +/-?) = 0.
- Deretter bruker du eliminasjonsprosessen til å faktor 4 for å finne produktet som gir -11x. Du kan bruke produktet av 4 og 1, eller 2 og 2, for når du multipliserer begge får du 4. Men husk at et av tallene må være negativt fordi resultatet er -4.
- Prøv (3x + 1) (x - 4). Når du multipliserer det, er resultatet - 3x2 -12x +x -4. Hvis du kombinerer variablene -12 x og x, er resultatet -11x, som er mellomverdien din. Du har nettopp regnet med en kvadratisk ligning.
- La oss for eksempel prøve å faktorisere det andre produktet: (3x -2) (x +2) = 3x2 +6x -2x -4. Hvis du kombinerer variablene, er resultatet 3x2 -4x -4. Selv om faktorene -2 og 2 når multiplisert produserer -4, er gjennomsnittet ikke det samme fordi du vil få en verdi på -11x i stedet for -4x.
Trinn 3. Anta at hver parentes er null i en annen ligning
Dette lar deg finne 2 x verdier som vil gjøre ligningen din null. Du har regnet likningen din, så alt du trenger å gjøre er å anta at beregningen i hver parentes er lik null. Dermed kan du skrive 3x + 1 = 0 og x - 4 = 0.
Trinn 4. Løs hver ligning separat
I en kvadratisk ligning er det 2 verdier for x. Løs hver ligning separat ved å flytte variablene og skrive ned 2 svar for x, slik:
-
Løs 3x + 1 = 0
- 3x = -1….. ved å trekke fra
- 3x/3 = -1/3….. ved å dele
- x = -1/3….. ved å forenkle
-
Løs x - 4 = 0
x = 4….. ved å trekke fra
- x = (-1/3, 4) ….. ved å gjøre flere mulige svar atskilt, noe som betyr at x = -1/3 eller x = 4 kan begge være riktige.
Trinn 5. Sjekk x = -1/3 in (3x + 1) (x -4) = 0:
Dermed får vi (3 [-1/3] + 1) ([-1/3]-4)? =? 0….. ved å erstatte (-1 + 1) (-4 1/3)? =? 0….. ved å forenkle (0) (-4 1/3) = 0….. ved å multiplisere Så, 0 = 0….. Ja, x = -1/3 er sant.
Trinn 6. Sjekk x = 4 in (3x + 1) (x - 4) = 0:
Dermed får vi (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0….. ved å erstatte (13) (4 - 4)? =? 0….. ved å forenkle (13) (0) = 0….. ved å multiplisere Så, 0 = 0….. Ja, x = 4 er også sant.
Så, etter å ha sjekket separat, er begge svarene riktige og kan brukes i ligninger
Metode 2 av 3: Bruke den kvadratiske formelen
Trinn 1. Kombiner alle like variabler og flytt dem til den ene siden av ligningen
Flytt alle variablene til den ene siden av ligningen, med verdien av variabelen x2 positiv. Skriv ned variablene med sekvensielle eksponenter, slik at x2 skrevet først, etterfulgt av variabler og konstanter. Slik gjør du det:
- 4x2 - 5x - 13 = x2 -5
- 4x2 - x2 - 5x - 13 +5 = 0
- 3x2 - 5x - 8 = 0
Trinn 2. Skriv ned den kvadratiske formelen
Den kvadratiske formelen er: b ± b2−4ac2a { displaystyle { frac {-b / pm { sqrt {b^{2} -4ac}}} {2a}}}
Trinn 3. Bestem verdiene til a, b og c fra den kvadratiske ligningen
Variabel a er koeffisienten x2, b er koeffisienten til variabelen x, og c er en konstant. For 3x. Ligningen2 -5x -8 = 0, a = 3, b = -5 og c = -8. Skriv ned alle tre.
Trinn 4. Erstatt verdiene til a, b og c i ligningen
Når du kjenner de tre variable verdiene, kobler du dem til en ligning som denne:
- {-b +/- √ (b2 - 4ac)}/2
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3)
Trinn 5. Utfør beregninger
Når du har angitt tallene, gjør du noen matte for å forenkle det positive eller negative tegnet, multiplisere eller kvadrere de resterende variablene. Slik gjør du det:
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
Trinn 6. Forenkle kvadratroten
Hvis tallet under kvadratroten er et perfekt kvadrat, får du et helt tall. Hvis tallet ikke er et perfekt kvadrat, forenkles det til den enkleste rotformen. Hvis tallet er negativt og du mener det burde være negativt, vil rotverdien være komplisert. I dette eksemplet er (121) = 11. Du kan skrive x = (5 +/- 11)/6.
Trinn 7. Se etter de positive og negative svarene
Når du har fjernet kvadratrottegnet, kan du jobbe deg frem til å finne et positivt og negativt resultat for x. Nå som du har (5 +/- 11)/6, kan du skrive 2 svar:
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
Trinn 8. Fullfør de positive og negative svarene
Utfør matematiske beregninger:
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
Trinn 9. Forenkle
For å forenkle hvert svar, divider med det største tallet som kan dele begge tallene. Del den første brøkdelen med 2 og del den andre med 6, og du har funnet verdien av x.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)
Metode 3 av 3: Fullfør torget
Trinn 1. Flytt alle variablene til den ene siden av ligningen
Sørg for at a eller variabel x2 positiv. Slik gjør du det:
- 2x2 - 9 = 12x =
-
2x2 - 12x - 9 = 0
I denne ligningen er variabel a 2, variabel b er -12 og variabel c er -9
Trinn 2. Flytt variabelen eller konstant c til den andre siden
Konstanter er numeriske termer uten variabler. Flytt til høyre side av ligningen:
- 2x2 - 12x - 9 = 0
- 2x2 - 12x = 9
Trinn 3. Del begge sider med koeffisienten a eller variabelen x2.
Hvis x2 ikke har en variabel og koeffisienten er 1, kan du hoppe over dette trinnet. I dette tilfellet må du dele alle variablene med 2, slik:
- 2x2/2 - 12x/2 = 9/2 =
- x2 - 6x = 9/2
Trinn 4. Del b med 2, firkant den, og legg til resultatet på begge sider
Verdien av b i dette eksemplet er -6. Slik gjør du det:
- -6/2 = -3 =
- (-3)2 = 9 =
- x2 - 6x + 9 = 9/2 + 9
Trinn 5. Forenkle begge sider
Faktor variabelen på venstre side for å få (x-3) (x-3) eller (x-3)2. Legg til verdiene til høyre for å få 9/2 + 9 eller 9/2 + 18/2, som er 27/2.
Trinn 6. Finn kvadratroten på begge sider
Kvadratrot av (x-3)2 er (x-3). Du kan skrive kvadratroten til 27/2 som ± √ (27/2). Dermed er x - 3 = ± √ (27/2).
Trinn 7. Forenkle røttene og finn verdien av x
For å forenkle ± √ (27/2), finn den perfekte firkanten mellom tallene 27 og 2 eller faktor det tallet. Den perfekte firkanten på 9 finnes i 27 fordi 9 x 3 = 27. For å ta 9 ut av kvadratroten, ta 9 ut av roten og skriv 3, kvadratroten, utenfor kvadratroten. La resten 3 stå i telleren av brøkdelen under kvadratroten, siden 27 ikke regner ut alle faktorene, og skriv ned 2 nedenfor. Flytt deretter konstanten 3 på venstre side av ligningen til høyre, og skriv de to løsningene for x:
- x = 3 +(√6)/2
- x = 3 - (√6)/2)
Tips
- Som du kan se, vil rotmerkene ikke forsvinne helt. Dermed kan tellervariablene ikke kombineres (fordi de ikke er like). Det nytter ikke å skille det til positivt eller negativt. Imidlertid kan vi dele det med den samme faktoren, men KUN hvis faktorene er de samme for begge konstantene OG rotkoeffisient.
- Hvis tallet under kvadratroten ikke er en perfekt firkant, er de siste trinnene litt annerledes. Her er et eksempel:
- Hvis b er et partall, blir formelen: {-(b/2) +/- (b/2) -ac}/a.
