3 måter å løse kubiske ligninger

2024 Forfatter: Jason Gerald | [email protected]. Sist endret: 2024-01-16 19:49

Når du først finner kubikkligningen (som er av formen ax ³ + bx ² + cx + d = 0), kanskje du tror at problemet vil være vanskelig å løse. Men vet at det å løse kubiske ligninger faktisk har eksistert i århundrer! Denne løsningen, oppdaget av italienske matematikere Niccolò Tartaglia og Gerolamo Cardano på 1500 -tallet, er en av de første formlene som er kjent i antikkens Hellas og Roma. Å løse kubiske ligninger kan være litt vanskelig, men med riktig tilnærming (og tilstrekkelig kunnskap) kan selv de vanskeligste kubiske ligningene løses.

Steg

Metode 1 av 3: Løse ved hjelp av kvadratiske ligninger

Trinn 1. Sjekk om kubikklikningen din har en konstant

Som nevnt ovenfor er formen på den kubiske ligningen ax ³ + bx ² + cx + d = 0. b, c, og verdien av d kan være 0 uten å påvirke formen på denne kubiske ligningen; dette betyr i utgangspunktet at kubikkligningen ikke alltid trenger å inkludere verdien av bx ², cx eller d for å være en kubisk ligning. For å begynne å bruke denne ganske enkle måten å løse kubiske ligninger på, sjekk om kubikklikningen din har en konstant (eller verdien d). Hvis ligningen din ikke har en konstant eller verdi for d, kan du bruke en kvadratisk ligning for å finne svaret på kubikkligningen etter noen få trinn.

På den annen side, hvis ligningen din har en konstant verdi, trenger du en annen løsning. Se trinnene nedenfor for andre tilnærminger

Trinn 2. Faktorér x -verdien fra kubikkligningen

Siden ligningen din ikke har noen konstant verdi, har alle komponentene i den variabelen x. Dette betyr at denne verdien av x kan tas ut av ligningen for å forenkle den. Gjør dette trinnet og skriv om din kubiske ligning i form x (ax ² + bx + c).

La oss for eksempel si at den opprinnelige kubiske ligningen her er 3 x ³ + -2 x ² + 14 x = 0. Ved å ta med en variabel x fra denne ligningen får vi ligningen x (3 x ² + -2 x + 14) = 0.

Trinn 3. Bruk kvadratiske ligninger for å løse ligningene i parentes

Du vil kanskje legge merke til at noen av dine nye ligninger, som er omsluttet i parentes, er i form av en kvadratisk ligning (ax ² + bx + c). Dette betyr at vi kan finne verdien som trengs for å gjøre denne ligningen lik null ved å koble a, b og c til den kvadratiske ligningsformelen ({- b +/- √ (b ²- 4 ac)}/2 a). Utfør disse beregningene for å finne to svar på din kubiske ligning.

• I vårt eksempel kobler du verdiene til a, b og c (henholdsvis 3, -2 og 14) til den kvadratiske ligningen som følger:

  {- b +/- √ (b ²- 4 ac)}/2 a

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• Svar 1:

  {2 + √(-164)}/6

  {2 + 12,8 i}/6

• Svar 2:

  {2 - 12,8 i}/6

Trinn 4. Bruk nuller og svaret på den kvadratiske ligningen som svaret på din kubiske ligning

Kvadratiske ligninger vil ha to svar, mens kubiske ligninger har tre svar. Du vet allerede to svar av tre; som du får fra den "firkantede" delen av ligningen i parentes. Hvis din kubiske ligning kan løses med "faktorisering" som dette, er ditt tredje svar nesten alltid 0. Sikker! Du har nettopp løst en kubisk ligning.

Grunnen til at denne metoden fungerer er det grunnleggende faktum at "et hvilket som helst tall multiplisert med null er lik null". Når du faktoriserer ligningen din til formen x (ax ² + bx + c) = 0, du deler det i utgangspunktet bare i to "deler"; den ene delen er x -variabelen på venstre side og den andre delen er den kvadratiske ligningen i parentes. Hvis en av disse to delene er null, vil hele ligningen også være null. Dermed er de to svarene på den kvadratiske ligningen i parentes, som vil gjøre den null, svarene på den kubiske ligningen, samt 0 i seg selv - noe som vil gjøre at delen på venstre side også er null.

Metode 2 av 3: Finne heltallsvar ved hjelp av en faktorliste

Trinn 1. Sørg for at din kubiske ligning har en konstant verdi

Selv om metodene beskrevet ovenfor er ganske enkle å bruke fordi du ikke trenger å lære en ny beregningsteknikk for å bruke dem, vil de ikke alltid hjelpe deg med å løse kubiske ligninger. Hvis din kubiske ligning har formen ax ³ + bx ² + cx + d = 0, der verdien av d ikke er lik null, fungerer ikke "faktoriserings" -metoden ovenfor, så du må bruke en av metodene i denne delen for å løse dette.

La oss for eksempel si at vi har ligningen 2 x ³ + 9 x ² + 13 x = -6. I dette tilfellet, for å få null på høyre side av ligningen, må vi legge til 6 på begge sider. Etter det får vi en ny ligning 2 x ³ + 9 x ² + 13 x + 6 = 0, med verdien d = 6, så vi kan ikke bruke "faktoriserings" -metoden som i den forrige metoden.

Trinn 2. Finn faktorene til a og d

For å løse din kubiske ligning, begynn med å finne faktoren til a (koeffisienten x ³) og d (den konstante verdien på slutten av ligningen). Husk at faktorer er tall som kan multipliseres med hverandre for å produsere et bestemt tall. For eksempel, siden du kan få 6 ved å multiplisere 6 × 1 og 2 × 3, er 1, 2, 3 og 6 faktorer på 6.

• I eksempelproblemet vi bruker, a = 2 og d = 6. Faktoren 2 er 1 og 2. Mens faktoren 6 er 1, 2, 3 og 6.

  

  Trinn 3. Del faktoren a med faktoren d

  Deretter lister du opp verdiene du får ved å dele hver faktor av a med hver faktor på d. Denne beregningen resulterer vanligvis i mange brøkverdier og flere hele tall. Heltallverdien for å løse din kubiske ligning er et av heltallene som er hentet fra beregningen.

  I vår ligning deler du faktorverdien til a (1, 2) med faktoren d (1, 2, 3, 6) og får følgende resultater: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2 og 2/3. Deretter legger du til negative verdier på listen, og vi får: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 og -2/3. Svaret på kubikkligningen - som er et heltall, er på listen.

  

  Trinn 4. Bruk syntetisk divisjon for å kontrollere svarene manuelt

  Når du har en liste med verdier som den ovenfor, kan du slå opp heltallverdiene som er svarene på din kubiske ligning ved å skrive inn hvert heltall manuelt og finne hvilken verdi som returnerer null. Men hvis du ikke vil bruke tid på å gjøre dette, er det en måte å gjøre det raskere på, nemlig med en beregning som kalles syntetisk divisjon. I utgangspunktet vil du dele hele tallverdien din med de opprinnelige koeffisientene til a, b, c og d i din kubiske ligning. Hvis resten er null, er den verdien et av svarene på din kubiske ligning.

  • Syntetisk inndeling er et komplekst tema - se lenken nedenfor for mer informasjon. Her er et eksempel på hvordan du finner et av svarene på din kubiske ligning med syntetisk divisjon:

    -1 | 2 9 13 6

    _| -2-7-6

    _| 2 7 6 0

    Siden vi får det endelige resultatet lik 0, vet vi at et av heltallsvarene på vår kubiske ligning er - 1.

  Metode 3 av 3: Bruke den diskriminerende tilnærmingen

  

  Trinn 1. Skriv ned likningene a, b, c og d

  For å finne svaret på kubikkligningen på denne måten, vil vi gjøre mange beregninger med koeffisientene i ligningen vår. På grunn av dette er det en god idé å notere verdiene til a, b, c og d før du glemmer noen av verdiene.

  For eksempel for ligningen x ³ - 3 x ² + 3 x -1, skriv det ned som a = 1, b = -3, c = 3 og d = -1. Ikke glem at når variabelen x ikke har noen koeffisient, er verdien 1.

  

  Trinn 2. Beregn 0 = b ² - 3 klimaanlegg.

  Den diskriminerende tilnærmingen til å finne svar på kubiske ligninger krever komplekse beregninger, men hvis du følger trinnene nøye, kan det være svært nyttig for å løse kubiske ligninger som er vanskelige å løse på andre måter. Til å begynne med, finn verdien 0, som er den første signifikante verdien av de flere vi trenger, og plugg den riktige verdien til formelen b ² - 3 klimaanlegg.

  • I eksemplet vi bruker, løser vi det som følger:

    b ² - 3 ac

    (-3)² - 3(1)(3)

    9 - 3(1)(3)

    9 - 9 = 0 = 0

  

  Trinn 3. Beregn 1 = 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² d.

  Den neste signifikante verdien vi trenger, 1, krever en lengre beregning, men kan bli funnet på samme måte som 0. Koble den riktige verdien til formelen 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² d for å få verdien 1.

  • I dette eksemplet løser vi det som følger:

    2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

    2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

    -54 + 81 - 27

    81 - 81 = 0 = 1

  

  Trinn 4. Beregn = 1² - 4Δ0³) -27 a ².

  Deretter beregner vi den "diskriminerende" verdien av verdiene 0 og 1. Diskriminanten er et tall som gir deg informasjon om roten til polynomet (du kan ubevisst ha lagret den kvadratiske diskriminerende formelen utenat. ² - 4 klimaanlegg). Når det gjelder en kubisk ligning, hvis verdien til diskriminanten er positiv, har ligningen tre reelle tallsvar. Hvis den diskriminerende verdien er lik null, har ligningen ett eller to svar i reelt tall, og noen av svarene har samme verdi. Hvis verdien er negativ, har ligningen bare ett reelt tallsvar, fordi grafen til ligningen alltid vil skjære x-aksen minst én gang.)

  • I dette eksemplet, siden både 0 og 1 = 0, er det veldig enkelt å finne verdien av. Vi trenger bare å beregne det på følgende måte:

    1² - 4Δ0³) -27 a ²

    (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

    0 - 0 ÷ 27

    0 =, så vår ligning har 1 eller 2 svar.

  

  Trinn 5. Beregn C = ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2).

  Den siste verdien som er viktig for oss å få er verdien av C. Denne verdien lar oss få alle tre røttene til vår kubiske ligning. Løs som vanlig ved å koble verdiene 1 og 0 til formelen.

  • I dette eksemplet får vi verdien av C ved:

    ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2)

    ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

    ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

    0 = C

  

  Trinn 6. Beregn ligningens tre røtter med variabelen din

  Roten (svaret) på din kubiske ligning bestemmes av formelen (b + u C + (Δ0/u C)) / 3 a, hvor u = (-1 + (-3))/2 og n er lik 1, 2 eller 3. Koble verdiene dine til formelen for å løse dem-det kan være ganske mange beregninger du må gjøre, men du bør få alle tre svarene dine på kubikklikninger!

  • I dette eksemplet kan vi løse det ved å sjekke svarene når n er lik 1, 2 og 3. Svaret vi får fra denne beregningen er det mulige svaret på vår kubiske ligning - enhver verdi vi plugger inn i kubikkligningen og det gir samme resultat. med 0, er det riktige svaret. For eksempel, hvis vi får et svar lik 1 hvis vi i et av våre beregningseksperimenter, kobler verdien 1 til ligningen x ³ - 3 x ² + 3 x - 1 gir sluttresultatet lik 0. Dermed

    Trinn 1. er et av svarene på vår kubiske ligning.