I matematikk, factoring er en måte å finne tall eller uttrykk som når de multipliseres vil gi et gitt tall eller ligning. Factoring er en nyttig ferdighet for å lære å løse enkle algebraproblemer; evnen til å faktorere godt, blir viktig når vi arbeider med kvadratiske ligninger og andre former for polynom. Factoring kan brukes til å forenkle algebraiske uttrykk for å gjøre løsningene enklere. Factoring kan til og med gi deg muligheten til å eliminere visse mulige svar, mye raskere enn å løse dem manuelt.
Steg
Metode 1 av 3: Faktorisering av tall og enkle algebraiske uttrykk
Trinn 1. Forstå definisjonen av factoring når det brukes på enkelt tall
Factoring er et enkelt konsept, men i praksis kan det være utfordrende når det brukes på komplekse ligninger. Derfor er det lettest å nærme seg begrepet factoring ved å starte med enkle tall, deretter gå videre til enkle ligninger, før du endelig går videre til mer komplekse applikasjoner. Faktorer for et tall er tall som når de multipliseres produserer tallet. For eksempel er faktorene 12 1, 12, 2, 6, 3 og 4, fordi 1 × 12, 2 × 6 og 3 × 4 er lik 12.
- En annen måte å tenke på det er at faktorene til et tall er tall som kan dele seg jevnt i tallet.
-
Kan du finne alle faktorene til tallet 60? Vi bruker tallet 60 til forskjellige formål (minutter i en time, sekunder i minutt, etc.) fordi det kan deles med ganske mange andre tall.
Faktorene 60 er 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 og 60
Trinn 2. Forstå at variable uttrykk også kan regnes med
Akkurat som tall selv kan faktoriseres, kan variabler med tallkoeffisienter også faktoriseres. For å gjøre dette, bare finn faktorene til de variable koeffisientene. Å vite hvordan å faktorisere en variabel er veldig nyttig for å forenkle algebraiske ligninger som involverer den variabelen.
-
For eksempel kan variabelen 12x skrives som produktet av faktorene 12 og x. Vi kan skrive 12x som 3 (4x), 2 (6x), etc., ved å bruke hvilken som helst faktor på 12 som fungerer best for våre formål.
Vi kan til og med faktor 12x flere ganger. Med andre ord, vi trenger ikke stoppe ved 3 (4x) eller 2 (6x) - vi kan faktorere 4x og 6x for å produsere 3 (2 (2x) og 2 (3 (2x). Selvfølgelig, disse to uttrykkene) er likeverdige
Trinn 3. Bruk fordelingsegenskapen til multiplikasjon på faktoralgebraiske ligninger
Ved å bruke din kunnskap om hvordan du faktoriserer både enkelt tall og variabler med koeffisienter, kan du forenkle enkle algebraiske ligninger ved å finne faktorene som tall og variabler deler i algebraiske ligninger. Vanligvis, for å forenkle en ligning, prøver vi å finne den største fellesfaktoren. Denne forenklingsprosessen er mulig på grunn av fordelingsegenskapen til multiplikasjon, som gjelder for alle tall a, b og c. a (b + c) = ab + ac.
- La oss prøve et eksempel på spørsmål. For å faktorisere den algebraiske ligningen 12x + 6, la oss først prøve å finne den største fellesfaktoren 12x og 6. 6 er det største tallet som kan dele 12x og 6 jevnt, så vi kan forenkle ligningen til 6 (2x + 1).
- Denne prosessen gjelder også for ligninger med negative tall og brøk. For eksempel kan x/2 + 4 forenkles til 1/2 (x + 8), og -7x + -21 kan regnes til -7 (x + 3).
Metode 2 av 3: Faktorisering av kvadratiske ligninger
Trinn 1. Kontroller at ligningen er i kvadratisk form (ax2 + bx + c = 0).
Kvadratiske ligninger har formen ax2 + bx + c = 0, der a, b og c er tallkonstanter og ikke lik 0 (merk at a kan være lik 1 eller -1). Hvis du har en ligning som har en variabel (x) som har ett ledd x til to eller flere, flytter du vanligvis disse begrepene i ligningen ved hjelp av enkle algebraiske operasjoner for å få 0 på hver side av likhetstegnet og aksen2, etc. på den andre siden.
- La oss for eksempel tenke på en algebraisk ligning. 5x2 + 7x - 9 = 4x2 + x - 18 kan forenkles til x2 + 6x + 9 = 0, som er kvadratisk form.
- Likninger med den større kraften til x, for eksempel x3, x4, etc. er ikke kvadratiske ligninger. Disse ligningene er kubiske ligninger, til den fjerde effekten, og så videre, med mindre ligningen kan forenkles for å fjerne disse x -termene med potens større enn 2.
Trinn 2. I en kvadratisk ligning, hvor a = 1, faktor inn i (x+d) (x+e), hvor d × e = c og d+e = b
Hvis den kvadratiske ligningen er i formen x2 + bx + c = 0 (med andre ord, hvis koeffisienten til begrepet x2 = 1), er det mulig (men ikke garantert) at en ganske enkel stenografi -metode kan brukes til å faktorere ligningen. Finn to tall som når multiplisert gir c og lagt sammen for å produsere b. Etter at du har søkt etter disse to tallene d og e, legger du dem inn i følgende uttrykk: (x+d) (x+e). Disse to begrepene, når de multipliseres, gir deg din kvadratiske ligning - med andre ord, de er faktorene i den kvadratiske ligningen din.
- La oss for eksempel tenke på den kvadratiske ligningen x2 + 5x + 6 = 0. 3 og 2 multipliseres for å gi 6 og legges også til for å gi 5, så vi kan forenkle denne ligningen til (x + 3) (x + 2).
-
Den lille forskjellen i denne grunnleggende stenografi -metoden ligger i forskjellene i selve likhetene:
- Hvis den kvadratiske ligningen er i formen x2-bx+c, svaret ditt er i dette skjemaet: (x - _) (x - _).
- Hvis ligningen er i formen x2+ bx + c, svaret ditt ser slik ut: (x + _) (x + _).
- Hvis ligningen er i formen x2-bx -c, svaret ditt er i skjemaet (x + _) (x -_).
- Merk: Tallene i emnene kan være brøk eller desimaler. For eksempel er ligningen x2 + (21/2) x + 5 = 0 er regnet inn i (x + 10) (x + 1/2).
Trinn 3. Hvis mulig, faktor gjennom sjekker
Tro det eller ei, for ukompliserte kvadratiske ligninger er en av de tillatte faktoriseringsmetodene å undersøke problemet, og deretter vurdere de mulige svarene til du finner det riktige svaret. Denne metoden er også kjent som factoring gjennom undersøkelse. Hvis ligningen er i formen ax2+bx +c og a> 1, er faktorsvaret ditt i skjemaet (dx +/- _) (eks +/- _), der d og e er konstanter for tall som ikke er null, og som multiplisert gir a. Verken d eller e (eller begge deler) kan være 1, selv om det ikke trenger å være det. Hvis begge er 1, bruker du i utgangspunktet stenografi -metoden beskrevet ovenfor.
La oss tenke på et eksempelproblem. 3x2 - 8x + 4 ser vanskelig ut i begynnelsen. Når vi imidlertid innser at 3 bare har to faktorer (3 og 1), blir denne ligningen lettere fordi vi vet at svaret vårt må ha formen (3x +/- _) (x +/- _). I dette tilfellet gir det riktige svaret å legge til -2 til begge emnene. -2 × 3x = -6x og -2 × x = -2x. -6x og -2x gir opptil -8x. -2 × -2 = 4, så vi kan se at begrepene som er inkludert i parentes når de multipliseres, gir den opprinnelige ligningen.
Trinn 4. Løs ved å fullføre firkanten
I noen tilfeller kan kvadratiske ligninger raskt og enkelt faktoriseres ved hjelp av spesielle algebraiske identiteter. Enhver kvadratisk ligning i form x2 + 2xh + t2 = (x + h)2. Så hvis b -verdien din i ligningen din er to ganger kvadratroten til c -verdien din, kan ligningen regnes med (x + (rot (c)))2.
For eksempel er ligningen x2 +6x+9 har denne formen. 32 er 9 og 3 × 2 er 6. Så vi vet at faktorformen til denne ligningen er (x + 3) (x + 3), eller (x + 3)2.
Trinn 5. Bruk faktorer for å løse kvadratiske ligninger
Uansett hvordan du har regnet med din kvadratiske ligning, kan du finne mulige svar på verdien til x ved å gjøre hver faktor lik null og løse dem. Siden du leter etter verdien av x som gjør likningen din lik null, er verdien av x som gjør hvilken som helst faktor lik null et mulig svar på den kvadratiske ligningen.
La oss gå tilbake til ligning x2 + 5x + 6 = 0. Denne ligningen er regnet inn i (x + 3) (x + 2) = 0. Hvis en av faktorene er lik 0, er alle ligningene 0, så våre mulige svar for x er tall- et tall som gjør (x + 3) og (x + 2) er lik 0. Disse tallene er henholdsvis -3 og -2.
Trinn 6. Sjekk svarene dine - noen av svarene kan være misvisende
Når du finner mulige svar for x, kobler du dem tilbake til den opprinnelige ligningen for å se om svaret er riktig. Noen ganger gjør svarene du finner, at den opprinnelige ligningen ikke er lik null når den angis på nytt. Vi kaller dette svaret avvikende og ignorerer det.
-
La oss sette -2 og -3 i x2 + 5x + 6 = 0. Først, -2:
- (-2)2 + 5(-2) + 6 = 0
- 4 + -10 + 6 = 0
- 0 = 0. Dette svaret er riktig, så -2 er det riktige svaret.
-
La oss prøve -3:
- (-3)2 + 5(-3) + 6 = 0
- 9 + -15 + 6 = 0
- 0 = 0. Dette svaret er også riktig, så -3 er det riktige svaret.
Metode 3 av 3: Factoring Other Equations
Trinn 1. Hvis ligningen uttrykkes i form a2-b2, faktor inn i (a+b) (a-b).
Likninger med to variabler har forskjellige faktorer enn den grunnleggende kvadratiske ligningen. For ligning a2-b2 alt der a og b ikke er lik 0, er faktorene i ligningen (a+b) (a-b).
For eksempel er ligningen 9x2 - 4 år2 = (3x + 2y) (3x - 2y).
Trinn 2. Hvis ligningen uttrykkes i form a2+2ab+b2, faktor inn i (a+b)2.
Vær oppmerksom på at hvis treenigheten har formen a2-2ab+b2, formfaktorene er litt forskjellige: (a-b)2.
4x. Ligning2 + 8xy + 4y2 kan skrives om til 4x2 + (2 × 2 × 2) xy + 4y2. Nå kan vi se at formen er riktig, så vi kan være sikre på at faktorene i vår ligning er (2x + 2y)2
Trinn 3. Hvis ligningen uttrykkes i form a3-b3, faktor inn i (a-b) (a2+ab+b2).
Til slutt ble det allerede nevnt at kubiske ligninger og enda høyere makter kan faktoriseres, selv om factoring -prosessen raskt blir veldig komplisert.
For eksempel 8x3 - 27 år3 regnet inn i (2x - 3y) (4x2 + ((2x) (3y)) + 9y2)
Tips
- en2-b2 kan regnes med, a2+b2 kan ikke regnes med.
- Husk hvordan du faktoriserer en konstant. Dette kan hjelpe.
- Vær forsiktig med brøker i factoring -prosessen og arbeid med brøk riktig og forsiktig.
- Hvis du har en treenighet av formen x2+ bx+ (b/2)2, formfaktoren er (x+(b/2))2. (Du kan støte på denne situasjonen når du fullfører firkanten.)
- Husk at a0 = 0 (egenskapen til produktet null).
