Å lære å forenkle algebraiske uttrykk er en av nøklene til å mestre grunnleggende algebra og det mest nyttige verktøyet noen matematiker trenger å ha. Forenkling lar matematikere konvertere komplekse, lange og/eller merkelige uttrykk til enklere eller lettere likeverdige uttrykk. Grunnleggende forenklingskunnskaper er veldig enkle å lære - selv for de som hater matte. Ved å følge noen få enkle trinn er det mulig å forenkle mange av de mest brukte typene algebraiske uttrykk, uten å bruke noen spesiell kunnskap om matematikk. Sjekk trinn 1 for å komme i gang!
Steg
Forstå viktige begreper
Trinn 1. Grupper like termer i henhold til deres variabler og krefter
I algebra har like termer samme variabelkonfigurasjon, med samme kraft. Med andre ord, for at to termer skal være like, må de ha samme variabel, eller ingen variabel i det hele tatt, og hver variabel har samme effekt, eller ingen eksponent. Rekkefølgen på variablene i termer er ikke viktig.
For eksempel 3x2 og 4x2 er som termer fordi de begge har en variabel x med kvadratets kraft. Imidlertid er x og x2 er ikke som termer fordi hvert begrep har en variabel x med en annen effekt. Nesten det samme, -3yx og 5xz er ikke like termer fordi hvert begrep har en annen variabel.
Trinn 2. Faktor ved å skrive tallet som produktet av de to faktorene
Factoring er begrepet å skrive ned et gitt tall som produktet av to faktorer som multipliseres. Tall kan ha mer enn ett sett med faktorer - for eksempel kan 12 hentes fra 1 × 12, 2 × 6 og 3 × 4, så vi kan si at 1, 2, 3, 4, 6 og 12 er faktorer av 12 En annen måte å forestille seg det på er at faktorene til et tall er tallene som deler tallet hele.
- For eksempel, hvis vi ønsket å faktor 20, kunne vi skrive det som 4 × 5.
- Vær oppmerksom på at variable begreper også kan regnes med. -20x, for eksempel, kan skrives som 4 (5x).
- Primtall kan ikke regnes med fordi de bare kan deles av seg selv og 1.
Trinn 3. Bruk forkortelsen KaPaK BoTaK for å huske rekkefølgen på operasjoner
Noen ganger løser forenkling av et uttrykk bare operasjonen i ligningen til den ikke lenger er brukbar. I disse tilfellene er det veldig viktig å huske rekkefølgen på operasjonene slik at ingen aritmetiske feil oppstår. Akronymet KaPaK BoTaK hjelper deg med å huske rekkefølgen på operasjoner - bokstavene angir typer operasjoner du bør utføre, i rekkefølgen:
- Kmislykkes
- Pløfte
- Kali
- Ben gang til
- Tlegge til
- Kreke
Metode 1 av 3: Slå sammen vilkår
Trinn 1. Skriv ned ligningen din
De enkleste algebraiske ligningene, som bare involverer noen få variable termer med heltallskoeffisienter og uten brøk, røtter, etc., kan ofte løses i bare noen få trinn. For de fleste matematikkoppgaver er det første trinnet for å forenkle ligningen din å skrive den ned!
Som et eksempelproblem bruker vi uttrykket i de neste trinnene 1 + 2x - 3 + 4x.
Trinn 2. Identifiser lignende stammer
Se deretter etter lignende termer i ligningen din. Husk at lignende termer har samme variabel og eksponent.
La oss for eksempel identifisere lignende termer i vår ligning 1 + 2x - 3 + 4x. 2x og 4x har begge den samme variabelen med samme effekt (i dette tilfellet har x ingen eksponent). Dessuten er 1 og -3 like termer fordi de ikke har noen variabler. Så i vår ligning, 2x og 4x og 1 og -3 er lignende stammer.
Trinn 3. Kombiner lignende termer
Nå som du har identifisert lignende termer, kan du kombinere dem for å forenkle ligningen din. Legg til vilkårene (eller trekk fra ved negative termer) for å redusere settet av termer med samme variabel og eksponent til ett like begrep.
-
La oss legge til lignende termer i vårt eksempel.
- 2x + 4x = 6x
- 1 + -3 = - 2
Trinn 4. Lag en enklere ligning ut fra de forenklede begrepene
Etter å ha kombinert dine like uttrykk, må du lage en ligning fra det nye, mindre settet med termer. Du får en enklere ligning, som har ett begrep for de forskjellige settene med variabler og krefter i den opprinnelige ligningen. Denne nye ligningen tilsvarer den opprinnelige ligningen.
I vårt eksempel er våre forenklede termer 6x og -2, så vår nye ligning er 6x - 2. Denne enkle ligningen tilsvarer originalen (1 + 2x - 3 + 4x), men kortere og lettere å jobbe med. Det er også lettere å faktorere, som vi ser på nedenfor, som er en annen viktig forenklingsevne.
Trinn 5. Følg operasjonsrekkefølgen når du kombinerer lignende termer
I veldig enkle ligninger som den vi jobbet med i eksempelproblemet ovenfor, er det enkelt å identifisere lignende termer. I mer komplekse ligninger, for eksempel uttrykk som involverer parentetiske termer, brøker og røtter, er det imidlertid ikke sikkert at termer som kan kombineres, er tydelig synlige. I disse tilfellene følger du rekkefølgen på operasjoner, og utfører operasjoner på vilkårene i uttrykket ditt etter behov inntil addisjons- og subtraksjonsoperasjonene gjenstår.
-
La oss for eksempel bruke ligningen 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x. Det ville være feil å umiddelbart betrakte 3x og 2x som like termer og kombinere dem fordi parentesene i uttrykket indikerer at vi må utføre andre operasjoner først. Først utfører vi aritmetiske operasjoner på uttrykket i rekkefølgen av operasjoner for å få termer som vi kan bruke. Se følgende:
- 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x
- 15x - 5 + x (x) + 8 - 3x
- 15x - 5 + x2 + 8 - 3x. Siden de eneste gjenværende operasjonene er addisjon og subtraksjon, kan vi kombinere like termer.
- x2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
- x2 + 12x + 3
Metode 2 av 3: Factoring
Trinn 1. Identifiser den største fellesfaktoren i uttrykket
Factoring er en måte å forenkle et uttrykk ved å fjerne faktorene som er like i alle uttrykk i uttrykket. For å starte, finn den største fellesfaktoren som alle begrepene har - med andre ord det største tallet som deler alle begrepene i uttrykket hele.
-
La oss bruke 9x. Ligningen2 + 27x - 3. Legg merke til at hvert ledd i denne ligningen er delelig med 3. Siden begrepene ikke er delbare med noe større tall, kan vi si at
Trinn 3. er vår største fellesfaktor.
Trinn 2. Del begrepene i uttrykket med den største fellesfaktoren
Deretter deler du hvert begrep i ligningen din med den største fellesfaktoren du nettopp fant. Kvotientuttrykkene vil ha en mindre koeffisient enn den opprinnelige ligningen.
-
La oss faktorere ligningen vår med den største fellesfaktoren, 3. For å gjøre dette, deler vi hvert ledd med 3.
- 9x2/3 = 3x2
- 27x/3 = 9x
- -3/3 = -1
- Dermed er vårt nye uttrykk 3x2 + 9x - 1.
Trinn 3. Skriv uttrykket ditt som produktet av den største fellesfaktoren multiplisert med de resterende begrepene
Ditt nye uttrykk tilsvarer ikke det opprinnelige uttrykket ditt, så det vil være feil å si at uttrykket er forenklet. For å gjøre vårt nye uttrykk lik originalen, må vi inkludere det faktum at uttrykket vårt har blitt delt med den største fellesfaktoren. Omslutt ditt nye uttrykk i parentes og skriv den største fellesfaktoren for den opprinnelige ligningen som uttrykkskoeffisienten i parentes.
For vårt eksempel ligning, 3x2 + 9x - 1, vi kan omslutte uttrykket i parentes og multiplisere det med den største fellesfaktoren i den opprinnelige ligningen for å få 3 (3x2 + 9x - 1). Denne ligningen tilsvarer den opprinnelige ligningen, 9x2 +27x - 3.
Trinn 4. Bruk factoring for å forenkle brøk
Du lurer kanskje på hvorfor factoring brukes, selv om det nye uttrykket må multipliseres igjen med den faktoren selv etter at du har fjernet den største fellesfaktoren. Faktisk lar factoring matematikere utføre forskjellige triks for å forenkle uttrykk. Et av hans enkleste triks drar fordel av det faktum at multiplisering av teller og nevner av en brøk med samme tall kan produsere likeverdige brøker. Se følgende:
-
Si vårt første eksempeluttrykk, 9x2 + 27x - 3, er kvantifisereren til den større brøkdelen med 3 som teller. Brøkdelen vil se slik ut: (9x2 + 27x - 3)/3. Vi kan bruke factoring for å forenkle brøk.
- La oss erstatte factoringformen til vårt originale uttrykk med uttrykket i telleren: (3 (3x2 + 9x - 1))/3
- Legg merke til at både teller og nevner har en koeffisient på 3. Ved å dele teller og nevner med 3 får vi: (3x2 + 9x - 1)/1.
- Siden enhver brøk med en nevner på 1 tilsvarer begrepene i telleren, kan vi si at vår første brøk kan forenkles til 3x2 + 9x - 1.
Metode 3 av 3: Bruke ytterligere forenklingskunnskaper
Trinn 1. Forenkle brøker ved å dividere med de samme faktorene
Som nevnt ovenfor, hvis telleren og nevneren til en ligning har de samme faktorene, kan disse faktorene utelates fullstendig i fraksjonen. Noen ganger vil det kreve faktorisering i teller, nevner eller begge deler (som tilfellet er i eksempelproblemet ovenfor), mens noen ganger er de samme faktorene ofte åpenbare. Vær oppmerksom på at det også er mulig å dele tellerens vilkår med ligningen i nevneren en etter en for å få et enkelt uttrykk.
-
La oss jobbe med et eksempel som ikke krever factoring. For brøk (5x2 + 10x + 20)/10, kan vi dele hvert ledd i telleren med 10 for å forenkle, selv om koeffisienten er 5 i 5x2 er ikke større enn 10 og dermed er 10 ikke en faktor.
Hvis vi gjør det, får vi ((5x2)/10) + x + 2. Hvis vi ville, kunne vi omskrive det første uttrykket som (1/2) x2 så vi får (1/2) x2 +x+2.
Trinn 2. Bruk de kvadrerte faktorene til å forenkle røttene
Uttrykket under rottegnet kalles rotuttrykket. Dette uttrykket kan forenkles ved å identifisere kvadratfaktorene (faktorer som er kvadrater med heltall) og utføre kvadratrotoperasjonen separat for å fjerne dem fra under kvadratrottegnet.
-
La oss gjøre et enkelt eksempel - (90). Hvis vi tenker på 90 som produktet av dets to faktorer, 9 og 10, kan vi ta kvadratroten til 9 som er heltallet 3 og fjerne det fra det radikale tegnet. Med andre ord:
- √(90)
- √(9 × 10)
- (√(9) × √(10))
- 3 × √(10)
- 3√(10)
Trinn 3. Legg til eksponenter når du multipliserer to eksponenter; trekke fra ved deling
Noen algebraiske uttrykk krever multiplikasjon eller deling av kraftuttrykk. I stedet for å beregne eller dele hver eksponent manuelt, er det bare å legge til eksponentene når du multipliserer og trekker fra når du deler for å spare tid. Dette konseptet kan også brukes til å forenkle variable uttrykk.
-
La oss for eksempel bruke uttrykket 6x3 × 8x4 + (x17/x15). I alle tilfeller der multiplikasjon eller divisjon av eksponenter er nødvendig, vil vi trekke fra eller legge til eksponenter for å raskt finne det enkle begrepet. Se følgende:
- 6x3 × 8x4 + (x17/x15)
- (6 × 8) x3 + 4 + (x17 - 15)
- 48x7 +x2
-
For en forklaring på hvordan det fungerer, se nedenfor:
- Å multiplisere termer i eksponenter er faktisk som å multiplisere termer ikke i lange eksponenter. For eksempel fordi x3 = x × x × x og x 5 = x × x × x × x × x, x3 × x5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) eller x8.
- Nesten det samme er å dele eksponenter som å dele termer, ikke lange eksponenter. x5/x3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Siden hvert ledd i telleren kan krysses av ved å finne det samme uttrykket i nevneren, er det bare to x igjen i telleren og ingenting igjen nederst, noe som gir svaret x2.
Tips
- Husk alltid at du må forestille deg at disse tallene har positive og negative tegn. Mange stopper for å tenke på hvilket tegn jeg skal sette her?
- Be om hjelp hvis du trenger det!
- Forenkling av algebraiske uttrykk er ikke lett, men når du forstår det, vil du bruke det resten av livet.
Advarsel
- Se alltid etter lignende stammer og ikke la deg lure av rang.
- Sørg for at du ikke legger til tall, krefter eller operasjoner som ikke skulle være utilsiktet.
