I dagene før kalkulatorer ble oppfunnet, måtte studenter og professorer beregne kvadratrøtter manuelt. Flere forskjellige måter er utviklet for å overvinne denne vanskelige prosessen. Noen måter gir et grovt estimat og andre gir en eksakt verdi. For å lære hvordan du finner kvadratroten til et tall ved hjelp av enkle operasjoner, se trinn 1 nedenfor for å komme i gang.
Steg
Metode 1 av 2: Bruke Prime Factorization
Trinn 1. Del opp tallet i perfekte kvadratfaktorer
Denne metoden bruker faktorene til et tall for å finne kvadratroten til tallet (avhengig av tallet kan svaret være et eksakt tall eller en nær tilnærming). Faktorene til et tall er et sett med andre tall som, når de multipliseres, produserer det tallet. For eksempel kan du si at faktorene 8 er 2 og 4 fordi 2 × 4 = 8. I mellomtiden er perfekte firkanter hele tall som er produktet av andre hele tall. For eksempel er 25, 36 og 49 perfekte firkanter fordi de er henholdsvis 5.2, 62, og 72. Som du kanskje har gjettet, er perfekte kvadratfaktorer faktorer som også er perfekte firkanter. For å begynne å finne kvadratroten gjennom primfaktorisering, prøv først å forenkle tallet ditt til dets perfekte kvadratfaktorer.
- La oss bruke et eksempel. Vi ønsker å finne kvadratroten på 400 manuelt. For å starte deler vi tallet inn i de perfekte kvadratfaktorene. Siden 400 er et multiplum av 100, vet vi at 400 er delelig med 25 - en perfekt firkant. Med en rask deling av skyggene finner vi at 400 dividert med 25 er lik 16. Tilfeldigvis er 16 også en perfekt firkant. Dermed er de perfekte kvadratfaktorene på 400 25 og 16 fordi 25 × 16 = 400.
- Vi kan skrive det som: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
Trinn 2. Finn kvadratroten til de perfekte kvadratfaktorene
Multiplikasjonsegenskapen til kvadratroten sier at for ethvert tall a og b er Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). På grunn av denne egenskapen kan vi nå finne kvadratroten til våre perfekte kvadratfaktorer og multiplisere dem for å få svaret vårt.
-
I vårt eksempel finner vi kvadratrøttene til 25 og 16. Se nedenfor:
- Rot (25 × 16)
- Rot (25) × Rot (16)
-
5 × 4 =
Trinn 20.
Trinn 3. Hvis nummeret ditt ikke kan regnes perfekt, forenkle svaret til den enkleste formen
I virkeligheten er tallene du trenger for å finne kvadratroten til ofte ikke hyggelige hele tall med åpenbare perfekte kvadratfaktorer som 400. I disse tilfellene er det mulig at vi ikke finner det riktige svaret. Som et helt tall. Men ved å finne så mange perfekte kvadratfaktorer som du kan finne, kan du finne svaret i form av en kvadratrot som er mindre, enklere og lettere å beregne. For å gjøre dette, reduser antallet til en kombinasjon av perfekte kvadratfaktorer og ufullkomne kvadratfaktorer, og forenkle deretter.
-
La oss bruke kvadratroten til 147 som et eksempel. 147 er ikke et produkt av to perfekte firkanter, så vi kan ikke få den eksakte heltallsverdien som ovenfor. Imidlertid er 147 produktet av en perfekt firkant og et annet tall - 49 og 3. Vi kan bruke denne informasjonen til å skrive svaret vårt i sin enkleste form som følger:
- Rot (147)
- = Rot (49 × 3)
- = Sqrt (49) × Sqrt (3)
- = 7 × rot (3)
Trinn 4. Beregn om nødvendig
Med kvadratroten i sin enkleste form, er det vanligvis ganske enkelt å få et grovt estimat av tallsvaret ved å gjette verdien på den gjenværende kvadratroten og multiplisere den. En måte å veilede deg på er å lete etter perfekte firkanter som er større enn og mindre enn tallet i kvadratroten din. Du vil legge merke til at desimalverdien til tallet i kvadratroten er mellom de to tallene, så du kan gjette verdien mellom de to tallene.
-
La oss gå tilbake til vårt eksempel. fordi 22 = 4 og 12 = 1, vi vet at roten (3) er mellom 1 og 2 - sannsynligvis nærmere 2 enn 1. Vi anslår 1, 7. 7 × 1, 7 = 11, 9. Hvis vi sjekker svaret vårt på kalkulatoren, kan vi se at svaret vårt er ganske nær det virkelige svaret 12, 13.
Dette gjelder også for større tall. Root (35) kan for eksempel tilnærmes mellom 5 og 6 (muligens nærmere 6). 52 = 25 og 62 = 36. 35 er mellom 25 og 36, så kvadratroten må være mellom 5 og 6. Siden 35 er bare en mindre enn 36, kan vi med sikkerhet si at kvadratroten er litt mindre enn 6. Kontroll med en kalkulator vil gi oss svaret er omtrent 5, 92 - vi har rett.
Trinn 5. Alternativt kan du redusere antallet til de minst vanlige faktorene som ditt første trinn
Det er ikke nødvendig å finne faktorene til perfekte firkanter hvis du enkelt kan bestemme primfaktorene til et tall (faktorer som også er primtall). Skriv nummeret ditt når det gjelder de minst vanlige faktorene. Finn deretter parene med primtall som matcher faktorene dine. Når du finner to primfaktorer som er de samme, fjerner du disse to tallene fra kvadratroten og plasserer et av disse tallene utenfor kvadratroten.
-
Finn for eksempel kvadratroten på 45 ved å bruke denne metoden. Vi vet at 45 × 5 og vi vet at under 9 = 3 × 3. Dermed kan vi skrive kvadratroten vår i form av faktorene som dette: Sqrt (3 × 3 × 5). Bare fjern begge 3 -ene og sett en 3 utenfor kvadratroten for å forenkle kvadratroten til den enkleste formen: (3) Rot (5).
Herfra vil vi være enkle å estimere.
-
Som et siste eksempelproblem, la oss prøve å finne kvadratroten til 88:
- Rot (88)
- = Rot (2 × 44)
- = Rot (2 × 4 × 11)
- = Rot (2 × 2 × 2 × 11). Vi har noen 2 i kvadratroten vår. Siden 2 er et primtall, kan vi fjerne et par 2s og sette en av dem utenfor kvadratroten.
-
= Vår kvadratrot i sin enkleste form er (2) Sqrt (2 × 11) eller (2) Rot (2) Rot (11).
Herfra kan vi estimere Sqrt (2) og Sqrt (11) og finne det omtrentlige svaret som vi ønsker.
Metode 2 av 2: Finne kvadratroten manuelt
Bruke Long Division Algorithm
Trinn 1. Del tallene i nummeret ditt i par
Denne metoden bruker en prosess som ligner på lang divisjon for å finne det eksakte kvadratroten siffer etter siffer. Selv om det ikke er obligatorisk, kan det hende du finner det lettere å utføre denne prosessen hvis du visuelt organiserer arbeidsplassen din og tallene dine i deler som er enkle å jobbe. Først tegner du en vertikal linje som deler arbeidsområdet i to seksjoner, og tegner deretter en kortere horisontal linje nær øverst til høyre for å dele den høyre delen i en mindre toppdel og en større bunnseksjon. Deretter deler du tallene i par, og begynner med desimaltegnet. For eksempel, etter denne regelen, blir 79 520 789 182, 47897 "7 95 20 78 91 82. 47 89 70". Skriv nummeret ditt øverst til venstre.
La oss for eksempel prøve å beregne kvadratroten til 780, 14. Tegn to linjer for å dele arbeidsplassen din som ovenfor og skriv "7 80. 14" øverst til venstre. Det spiller ingen rolle om tallet til venstre er et enkelt tall, og ikke et par tall. Du skriver svaret ditt (kvadratrot 780, 14) øverst til høyre
Trinn 2. Finn det største heltallet hvis kvadratverdi er mindre enn eller lik tallet (eller tallparet) helt til venstre
Start helt til venstre for nummeret ditt, både tallpar og enkelttall. Finn den største perfekte firkanten som er mindre enn eller lik dette tallet, og finn deretter kvadratroten til denne perfekte firkanten. Dette tallet er n. Skriv n øverst til høyre og skriv kvadratet med n i den nedre høyre kvadranten.
I vårt eksempel er lengst til venstre tallet 7. Fordi vi vet at 22 = 4 ≤ 7 < 32 = 9, kan vi si at n = 2 fordi 2 er det største heltallet hvis kvadratverdi er mindre enn eller lik 7. Skriv 2 i øvre høyre kvadrant. Dette er det første sifferet i svaret vårt. Skriv 4 (kvadratverdi 2) i nedre høyre kvadrant. Dette tallet er viktig for neste trinn.
Trinn 3. Trekk tallet du nettopp har beregnet fra det paret lengst til venstre
Som med lang divisjon, er det neste trinnet å trekke verdien av kvadratet vi nettopp fant fra delen vi nettopp analyserte. Skriv dette tallet under den første delen og trekk det fra, og skriv svaret ditt under det.
-
I vårt eksempel skriver vi 4 under 7, og trekker det fra. Denne subtraksjonen gir et svar
Trinn 3..
Trinn 4. Slipp det neste paret
Flytt ned den neste delen av tallet du leter etter kvadratroten for, ved siden av subtraksjonsverdien du nettopp fant. Deretter multipliserer du tallet i øvre høyre kvadrant med to og skriver svaret i den nedre høyre kvadranten. Ved siden av tallet du nettopp skrev ned, la det stå et mellomrom for multiplikasjonsproblemet du vil gjøre i neste trinn ved å skrive '"_ × _ ="'.
I vårt eksempel er det neste paret av tallene våre "80". Skriv "80" ved siden av 3 i venstre kvadrant. Deretter multipliserer du tallet øverst til høyre med to. Dette tallet er 2, så 2 × 2 = 4. Skriv "'4"' i nedre høyre kvadrant, etterfulgt av _×_=.
Trinn 5. Fyll ut emnene i høyre kvadrant
Du må fylle ut alle feltene du nettopp skrev i høyre kvadrant med samme hele tall. Dette heltallet må være det største heltallet som gjør produktet i høyre kvadrant mindre enn eller lik tallet for øyeblikket til venstre.
I vårt eksempel fyller vi ut emnene med 8, noe som resulterer i 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Denne verdien er større enn 384. Dermed er 8 for stor, men 7 kan fungere. Skriv 7 i emnene og løs: 4 (7) × 7 = 329. 7 er et riktig tall fordi 329 er mindre enn 380. Skriv 7 i øvre høyre kvadrant. Dette er det andre sifferet i kvadratroten til 780, 14
Trinn 6. Trekk tallet du nettopp har beregnet fra tallet nå til venstre
Fortsett med subtraksjonskjeden ved å bruke metoden for lang deling. Ta produktet av problemet i høyre kvadrant og trekk det fra tallet som nå er til venstre, mens du skriver svarene nedenfor.
I vårt eksempel vil vi trekke fra 329 fra 380, noe som gir resultatet 51.
Trinn 7. Gjenta trinn 4
Utled den neste delen av tallet du leter etter kvadratroten for. Når du når desimaltegnet i tallet ditt, skriver du desimalpunktet i svaret ditt i øvre høyre kvadrant. Multipliser deretter tallet øverst til høyre med 2 og skriv det ved siden av det tomme multiplikasjonsproblemet ("_ × _") som ovenfor.
I vårt eksempel, siden vi nå har å gjøre med desimaltegnet i 780, 14, skriver du desimaltegnet etter vårt nåværende svar øverst til høyre. Senk deretter det neste paret (14) ned i venstre kvadrant. To ganger tallet øverst til høyre (27) er 54, så skriv "54 _ × _ =" i nedre høyre kvadrant
Trinn 8. Gjenta trinn 5 og 6
Finn det største sifferet du vil fylle ut feltene til høyre, som gir et svar som er mindre enn eller lik tallet som er til venstre. Deretter løser du problemet.
I vårt eksempel er 549 × 9 = 4941, som er mindre enn eller lik tallet til venstre (5114). 549 × 10 = 5490 er for stort, så 9 er svaret ditt. Skriv 9 som neste siffer i øvre høyre kvadrant og trekk produktet fra tallet til venstre: 5114 minus 4941 er 173
Trinn 9. For å fortsette å telle tallene, senk nullparet til venstre og gjenta trinn 4, 5 og 6
For større nøyaktighet, fortsett denne prosessen for å finne hundrevis, tusenvis og flere steder i svaret ditt. Fortsett å bruke denne syklusen til du finner desimalplassen du ønsker.
Forstå prosessen
Trinn 1. Tenk deg tallet du har beregnet kvadratroten av som arealet S på en firkant
Siden arealet til et kvadrat er P2 der P er lengden på en av sidene, så ved å prøve å finne kvadratroten på tallet ditt, prøver du faktisk å beregne lengden P på den siden av kvadratet.
Trinn 2. Bestem bokstavvariablene for hvert siffer i svaret ditt
Sett variabelen A som det første sifferet i P (kvadratroten vi prøver å beregne). B vil være det andre sifferet, C det tredje sifferet, og så videre.
Trinn 3. Bestem bokstavvariablene for hver del av startnummeret
Sett variabel Sen for det første paret i S (din opprinnelige verdi), Sb for det andre sifferparet, etc.
Trinn 4. Forstå forholdet mellom denne metoden og lang divisjon
Denne metoden for å finne kvadratroten er i utgangspunktet et langt divisjonsproblem som deler ditt opprinnelige tall med kvadratroten, og gir deg kvadratroten til svaret. Akkurat som i problemet med lang divisjon, er du bare interessert i neste siffer i hvert trinn. På denne måten er du bare interessert i de to neste sifrene i hvert trinn (som er det neste sifferet i hvert trinn for kvadratroten).
Trinn 5. Finn det største tallet hvis kvadratiske verdi er mindre enn eller lik Sen.
Det første sifferet i A i svaret vårt er det største heltallet hvis kvadratiske verdi ikke overstiger Sen (dvs. A slik at A² Sa <(A+1) ²). I vårt eksempel, Sen = 7, og 2² 7 <3², så A = 2.
Vær oppmerksom på at for eksempel hvis du ønsket å dele 88962 med 7 ved å bruke lang divisjon, er de første trinnene stort sett de samme: du ser det første sifferet på 88962 (som er 8), og du leter etter det største sifferet som, multiplisert med 7, er mindre enn eller lik 8 I utgangspunktet leter du etter d slik at 7 × d 8 <7 × (d+1). I dette tilfellet vil d være lik 1
Trinn 6. Tenk deg verdien av torget hvis område du skal begynne å jobbe med
Svaret ditt, kvadratroten til startnummeret ditt, er P, som beskriver lengden på kvadratet med område S (startnummeret ditt). Karakterene dine for A, B, C representerer sifrene i verdien P. En annen måte å si dette på er 10A + B = P (for et tosifret svar), 100A + 10B + C = P (for et tre- siffer svar), etc.
I vårt eksempel, (10A+B) ² = P2 = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Husk at 10A+B representerer svaret vårt, P, med B i en -posisjon og A i ti -posisjon. For eksempel, med A = 1 og B = 2, er 10A+B lik 12. (10A+B) ² er det totale arealet på torget, mens 100A² er arealet til det største torget i det, B² er arealet til det minste torget i det, og 10A × B er arealet til de to gjenværende rektanglene. Ved å gjøre denne lange og kronglete prosessen finner vi det totale arealet av et kvadrat ved å legge sammen arealene på rutene og rektanglene inni.
Trinn 7. Trekk A² fra Sen.
Reduser ett par siffer (Sb) av S. Verdi av Sen Sb nær det totale arealet på torget, som du nettopp brukte til å trekke det større indre torget. Resten kan tenkes på som tallet N1, som vi fikk i trinn 4 (N1 = 380 i vårt eksempel). N1 er lik 2 og ganger: 10A × B + B² (arealet av de to rektanglene pluss arealet til den mindre firkanten).
Trinn 8. Finn N1 = 2 × 10A × B + B², som også skrives som N1 = (2 × 10A + B) × B
I vårt eksempel kjenner du allerede N1 (380) og A (2), så du må finne B. B er mest sannsynlig ikke et helt tall, så du må virkelig finne det største heltallet B slik at (2 × 10A + B) × B N1. Så du har: N1 <(2 × 10A+(B+1)) × (B+1).)
Trinn 9. Fullfør
For å løse denne ligningen multipliserer du A med 2, flytter resultatet til posisjonen tiere (ekvivalent med å multiplisere med 10), setter B i en -posisjonen og multipliserer tallet med B. Med andre ord løser du (2 × 10A + B) × B. Dette er akkurat det du gjør når du skriver "N_ × _ =" (med N = 2 × A) i nedre høyre kvadrant i trinn 4. I trinn 5 finner du det største heltallet B som tilsvarer tallet under det slik at (2 × 10A + B) × B N1.
Trinn 10. Trekk fra området (2 × 10A + B) × B fra det totale arealet
Denne subtraksjonen resulterer i området S- (10A+B) ² som ikke er beregnet (og som vil bli brukt til å beregne det neste sifferet på samme måte).
Trinn 11. For å beregne det neste sifferet, C, gjenta prosessen
Senk det neste paret (Sc) av S for å få N2 til venstre, og finn den største C slik at du har (2 × 10 × (10A+B)+C) × C N2 (tilsvarer å skrive to ganger det tosifrede tallet "AB" etterfulgt av "_ × _ =". Finn det største matchende sifferet i emnene, som gir et svar som er mindre enn eller lik N2, som før.
Tips
- Å flytte et desimaltegn med et multiplum på to siffer i et tall (et multiplum på 100), betyr å flytte et desimalpunkt med et multiplum på ett siffer i kvadratroten (et multiplum på 10).
- I dette eksemplet kan 1,73 betraktes som en "rest": 780, 14 = 27, 9² + 1,73.
- Denne metoden kan brukes til hvilken som helst base, ikke bare base 10 (desimal).
- Du kan bruke beregning som er mer praktisk for deg. Noen mennesker skriver resultatet over det opprinnelige tallet.
- En alternativ måte å bruke gjentatte brøker på er å følge denne formelen: z = (x^2 + y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x +…))). For eksempel, for å beregne kvadratroten til 780, 14, er heltallet hvis kvadratiske verdi er nærmest 780, 14 28, så z = 780, 14, x = 28 og y = -3, 86. Angi verdier og beregning av estimater bare for x + y/(2x) gir (i enkleste form) 78207/20800 eller omtrent 27, 931 (1); neste termin, 4374188/156607 eller omtrent 27, 930986 (5). Hvert begrep legger til omtrent 3 desimaler til nøyaktigheten til det forrige antallet desimaler.
