3 måter å faktorisere et trinomial

2024 Forfatter: Jason Gerald | [email protected]. Sist endret: 2024-01-15 08:21

Et trinomin er et algebraisk uttrykk som består av tre termer. Mest sannsynlig vil du begynne å lære å faktorisere et kvadratisk trinomin, noe som betyr et trinomin skrevet i formen øks² + bx + c. Det er noen få triks å lære, som kan brukes til mange forskjellige typer kvadratiske trinomier, men du vil kunne bruke dem bedre og raskere med øvelse. Polynom av høyere orden, med termer som x³ eller x⁴, kan ikke alltid løses på samme måte, men du kan ofte bruke enkel factoring eller substitusjon for å gjøre det til et problem som kan løses som enhver annen kvadratisk formel.

Steg

Metode 1 av 3: Factoring x² + bx + c

Trinn 1. Lær PLDT -multiplikasjon

Du har kanskje lært hvordan du multipliserer PLDT, eller "First, Outside, In, Last" for å multiplisere uttrykk som (x+2) (x+4). Det er nyttig å vite hvordan denne multiplikasjonen fungerer før vi tar i betraktning:

Multipliser stammene Først: (x+2)(x+4) = x² + _
Multipliser stammene Utenfor: (x+2) (x+

Trinn 4.) = x²+ 4x + _
Multipliser stammene I: (x+

Steg 2.)(x+4) = x²+4x+ 2x + _
Multipliser stammene Endelig: (x+

Steg 2.) (x

Trinn 4.) = x²+4x+2x

Trinn 8.
Forenkle: x²+4x+2x+8 = x²+6x+8

Trinn 2. Forstå factoring

Når du multipliserer to binomialer ved å bruke PLDT -metoden, får du et trinomial (et uttrykk med tre termer) i formen x²+ b x+ c, der a, b og c er vanlige tall. Hvis du starter med en ligning som har samme form, kan du faktorisere den tilbake til to binomialer.

Hvis ligningene ikke er skrevet i denne rekkefølgen, må du omorganisere ligningene slik at de har denne rekkefølgen. For eksempel, skriv om 3x - 10 + x² Blir x² + 3x - 10.
Fordi den høyeste effekten er 2 (x², denne typen uttrykk kalles kvadratisk.

Trinn 3. La det stå tomt for svaret i form av PLDT -multiplikasjon

For nå er det bare å skrive (_ _)(_ _) hvor du vil skrive svaret. Vi fyller den mens vi jobber med den

Ikke skriv + eller - mellom de tomme begrepene fordi vi ikke vet riktig tegn ennå

Trinn 4. Fyll ut de første vilkårene

For enkle problemer er den første termen på din trinomium bare x², vilkårene i den første posisjonen er alltid x og x. Dette er faktorene til begrepet x² fordi x ganger x = x².

Vårt eksempel x² + 3x - 10 starter med x², så vi kan skrive:
(x _) (x _)
Vi skal jobbe med mer komplekse problemer i den neste delen, inkludert trinomier som starter med termer som 6x² eller -x². I mellomtiden følger du disse eksemplene på spørsmål.

Trinn 5. Bruk factoring til å gjette de siste vilkårene

Hvis du går tilbake og leser trinnene for å multiplisere PLDT, vil du se at multiplisering av de siste begrepene vil gi det siste uttrykket i polynomet (termer som ikke har x). Så for å faktorisere, må vi finne to tall som når de multipliseres vil produsere det siste uttrykket.

I vårt eksempel x² + 3x - 10, den siste termen er -10.
Hva er faktorene til -10? Hvilket tall multipliseres med -10?
Det er flere muligheter: -1 ganger 10, 1 ganger -10, -2 ganger 5 eller 2 ganger -5. Skriv ned disse parene et sted for å huske dem.
Ikke endre svaret vårt enda. Svaret vårt bør fortsatt se slik ut: (x _) (x _).

Trinn 6. Test mulighetene som matcher det ytre og indre produktet

Vi har begrenset de siste vilkårene til noen få muligheter. Bruk prøvesystemet for å teste alle muligheter, multiplisere ytre og indre termer og sammenligne produktet med vårt trinomium. For eksempel:

Vårt opprinnelige problem hadde begrepet "x" på 3x, så testresultatene våre burde matche dette begrepet.
Tester -1 og 10: (x -1) (x+10). Utvendig + Innvendig = 10x - x = 9x. Feil.
Tester 1 og -10: (x+1) (x -10). -10x + x = -9x. Dette er feil. Faktisk, hvis du tester -1 og 10, finner du ut at 1 og -10 er det motsatte av svaret ovenfor: -9x i stedet for 9x.
Tester -2 og 5: (x -2) (x+5). 5x - 2x = 3x. Resultatet tilsvarer det innledende polynomet, så her er det riktige svaret: (x-2) (x+5).
I enkle tilfeller som dette, hvis du ikke har en konstant foran begrepet x², du kan bruke den raske måten: bare legg sammen de to faktorene og sett et "x" bak det (-2+5 → 3x). Denne metoden fungerer imidlertid ikke for mer komplekse problemer, så det er bedre å huske den "lange veien" beskrevet ovenfor.

Metode 2 av 3: Factoring More Complex Trinomials

Trinn 1. Bruk enkel factoring for å gjøre mer komplekse problemer enklere

For eksempel må du faktorere 3x² + 9x - 30. Finn et tall som kan faktor alle tre begrepene ("største felles faktor" eller GCF). I dette tilfellet er GCF 3:

3x² = (3) (x²)
9x = (3) (3x)
-30 = (3)(-10)
Således er 3x² + 9x - 30 = (3) (x²+3x-10). Vi kan faktorisere det nye trinomiet ved å bruke trinnene i delen ovenfor. Det endelige svaret vårt blir (3) (x-2) (x+5).

Trinn 2. Se etter mer kompliserende faktorer

Noen ganger kan factoring involvere en variabel, eller du må kanskje faktorere flere ganger for å finne det enkleste mulige uttrykket. Her er noen eksempler:

2x²y + 14xy + 24y = (2y)(x² + 7x + 12)
x⁴ + 11x³ - 26x² = (x²)(x² +11x - 26)
-x² + 6x - 9 = (-1)(x² - 6x + 9)
Ikke glem å refaktorere det nye trinomiet ved å følge trinnene i metode 1. Kontroller arbeidet ditt og se etter eksempler på lignende problemer i eksempelspørsmålene nederst på denne siden.

Trinn 3. Løs problemer med et tall foran x².

Noen kvadratiske trinomier kan ikke reduseres til den enkleste typen problem. Lær hvordan du løser problemer som 3x² + 10x + 8, og øv deretter på egen hånd med eksemplene på spørsmålene nederst på denne siden:

Sett vårt svar til å være: (_ _)(_ _)
Våre "første" termer vil hver ha en x, og å multiplisere dem gir 3x². Det er bare en mulighet: (3x _) (x _).
Oppgi faktorene til 8. Oddsen er 1 ganger 8 eller 2 ganger 4.
Test denne muligheten ved å bruke ytre og indre termer. Vær oppmerksom på at rekkefølgen på faktorene er veldig viktig fordi det ytre begrepet multipliseres med 3x i stedet for x. Prøv alle muligheter til du får Out+In = 10x (fra det opprinnelige problemet):
(3x+1) (x+8) → 24x+x = 25x Nei
(3x+8) (x+1) → 3x+8x = 11x Nei
(3x+2) (x+4) → 12x+2x = 14x Nei
(3x+4) (x+2) → 6x+4x = 10x ja. Dette er den riktige faktoren.

Trinn 4. Bruk substitusjon for trinomier av høyere orden

Din mattebok kan overraske deg med ligninger med høye krefter, for eksempel x⁴, selv etter at du bruker enkel factoring for å gjøre problemet enklere. Prøv å erstatte en ny variabel som gjør det til et problem du vet hvordan du skal løse. For eksempel:

x⁵+13x³+36x
= (x) (x⁴+13x²+36)
La oss lage en ny variabel. La oss si y = x² og legg inn det:
(x) (y²+13y+36)
= (x) (y+9) (y+4). Konverter den nå tilbake til den opprinnelige variabelen:
= (x) (x²+9) (x²+4)
= (x) (x ± 3) (x ± 2)

Metode 3 av 3: Factoring Special Cases

Trinn 1. Finn primtall

Se om konstanten i det første eller tredje uttrykket i treenigheten er et primtall. Et primtall er bare delbart av seg selv og 1, så det er bare ett par binomiske faktorer.

For eksempel i x² + 6x + 5, 5 er et primtall, så binomialet må ha formen (_ 5) (_ 1).
I problemet med 3x²+10x+8, 3 er et primtall, så binomialet må ha formen (3x _) (x _).
For spørsmål 3x²+4x+1, både 3 og 1 er primtall, så den eneste mulige løsningen er (3x+1) (x+1). (Du bør fortsatt multiplisere dette tallet for å sjekke svaret ditt fordi noen uttrykk ikke kan regnes med i det hele tatt - for eksempel 3x²+100x+1 har ingen faktor.)

Trinn 2. Finn ut om treenigheten er en perfekt firkant

Et perfekt kvadratisk trinomial kan deles inn i to identiske binomialer, og faktoren skrives vanligvis som (x+1)² og ikke (x+1) (x+1). Her er noen eksempler som pleier å vises i spørsmål:

x²+2x+1 = (x+1)², og x²-2x+1 = (x-1)²
x²+4x+4 = (x+2)², og x²-4x+4 = (x-2)²
x²+6x+9 = (x+3)², og x²-6x+9 = (x-3)²
Perfekt firkantet treenighet i form a x² + bx + c har alltid vilkår a og c som er positive perfekte firkanter (som 1, 4, 9, 16 eller 25) og ett begrep b (positivt eller negativt) som er lik 2 (√a * √c).

Trinn 3. Finn ut om et problem ikke har noen løsning

Ikke alle trinomier kan regnes med. Hvis du ikke kan faktorisere et kvadratisk trinomium (aks²+bx+c), bruk den kvadratiske formelen for å finne svaret. Hvis det eneste svaret er kvadratroten til et negativt tall, er det ingen løsning for reelt tall, så har problemet ingen faktorer.

For ikke-firkantede treenigheter, bruk Eisenstein-kriteriet, som er beskrevet i Tips-delen

Svar og eksempler på spørsmål

Svar på "kompliserte factoring" -spørsmål.

Dette er spørsmål fra trinnet "mer kompliserte faktorer". Vi har forenklet problemene til enklere, så prøv å løse dem ved å følge trinnene i metode 1, og sjekk arbeidet ditt her:
- (2y) (x² + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
- (x²) (x² + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
- (-1) (x² -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)²
Prøv mer komplekse factoring -problemer.

Disse problemene har den samme faktoren i hvert begrep som må tas i betraktning først. Blokker emnene etter likhetstegnet for å se svarene, slik at du kan sjekke arbeidet ditt:
- 3x³+3x²-6x = (3x) (x+2) (x-1) blokker blanket for å se svaret
- -5x³y²+30x²y²-25y²x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)
Øv på å bruke spørsmål. Disse problemene kan ikke deles inn i enklere ligninger, så du må finne svaret i skjemaet (_x + _) (_ x + _) ved hjelp av trial and error:
- 2x²+3x-5 = (2x+5) (x-1) blokk for å se svaret
- 9x²+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)² (Tips: Det kan være lurt å prøve mer enn ett faktorpar for 9x.)
Tips
- Hvis du ikke kan finne ut hvordan du faktoriserer et kvadratisk trinomin (aks²+bx+c), kan du bruke den kvadratiske formelen til å finne x.
- Selv om du ikke trenger å vite hvordan du gjør dette, kan du bruke Eisenstein -kriteriene til å raskt avgjøre om et polynom ikke kan forenkles og faktoriseres. Dette kriteriet gjelder for ethvert polynom, men brukes best for trinomier. Hvis det er et primtall p som deler de to siste begrepene jevnt og tilfredsstiller følgende betingelser, kan polynomet ikke forenkles:
  - Konstante termer (uten variabler) er multipler av p, men ikke multipler av p².
  - Prefikset (for eksempel a in ax²+bx+c) er ikke et multiplum av s.
  - For eksempel 14x² +45x +51 kan ikke forenkles fordi det er et primtall (3) som kan deles med både 45 og 51, men ikke delbart med 14, og 51 er ikke delbart med 3².
Advarsel

Selv om dette er sant for kvadratiske trinomialer, er trinominiet som kan regnes med ikke nødvendigvis produktet av to binomialer. For eksempel, x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23).