Et trinomin er et algebraisk uttrykk som består av tre termer. Mest sannsynlig vil du begynne å lære å faktorisere et kvadratisk trinomin, noe som betyr et trinomin skrevet i formen øks2 + bx + c. Det er noen få triks å lære, som kan brukes til mange forskjellige typer kvadratiske trinomier, men du vil kunne bruke dem bedre og raskere med øvelse. Polynom av høyere orden, med termer som x3 eller x4, kan ikke alltid løses på samme måte, men du kan ofte bruke enkel factoring eller substitusjon for å gjøre det til et problem som kan løses som enhver annen kvadratisk formel.
Steg
Metode 1 av 3: Factoring x2 + bx + c
Trinn 1. Lær PLDT -multiplikasjon
Du har kanskje lært hvordan du multipliserer PLDT, eller "First, Outside, In, Last" for å multiplisere uttrykk som (x+2) (x+4). Det er nyttig å vite hvordan denne multiplikasjonen fungerer før vi tar i betraktning:
- Multipliser stammene Først: (x+2)(x+4) = x2 + _
-
Multipliser stammene Utenfor: (x+2) (x+
Trinn 4.) = x2+ 4x + _
-
Multipliser stammene I: (x+
Steg 2.)(x+4) = x2+4x+ 2x + _
-
Multipliser stammene Endelig: (x+
Steg 2.) (x
Trinn 4.) = x2+4x+2x
Trinn 8.
- Forenkle: x2+4x+2x+8 = x2+6x+8
Trinn 2. Forstå factoring
Når du multipliserer to binomialer ved å bruke PLDT -metoden, får du et trinomial (et uttrykk med tre termer) i formen x2+ b x+ c, der a, b og c er vanlige tall. Hvis du starter med en ligning som har samme form, kan du faktorisere den tilbake til to binomialer.
- Hvis ligningene ikke er skrevet i denne rekkefølgen, må du omorganisere ligningene slik at de har denne rekkefølgen. For eksempel, skriv om 3x - 10 + x2 Blir x2 + 3x - 10.
- Fordi den høyeste effekten er 2 (x2, denne typen uttrykk kalles kvadratisk.
Trinn 3. La det stå tomt for svaret i form av PLDT -multiplikasjon
For nå er det bare å skrive (_ _)(_ _) hvor du vil skrive svaret. Vi fyller den mens vi jobber med den
Ikke skriv + eller - mellom de tomme begrepene fordi vi ikke vet riktig tegn ennå
Trinn 4. Fyll ut de første vilkårene
For enkle problemer er den første termen på din trinomium bare x2, vilkårene i den første posisjonen er alltid x og x. Dette er faktorene til begrepet x2 fordi x ganger x = x2.
- Vårt eksempel x2 + 3x - 10 starter med x2, så vi kan skrive:
- (x _) (x _)
- Vi skal jobbe med mer komplekse problemer i den neste delen, inkludert trinomier som starter med termer som 6x2 eller -x2. I mellomtiden følger du disse eksemplene på spørsmål.
Trinn 5. Bruk factoring til å gjette de siste vilkårene
Hvis du går tilbake og leser trinnene for å multiplisere PLDT, vil du se at multiplisering av de siste begrepene vil gi det siste uttrykket i polynomet (termer som ikke har x). Så for å faktorisere, må vi finne to tall som når de multipliseres vil produsere det siste uttrykket.
- I vårt eksempel x2 + 3x - 10, den siste termen er -10.
- Hva er faktorene til -10? Hvilket tall multipliseres med -10?
- Det er flere muligheter: -1 ganger 10, 1 ganger -10, -2 ganger 5 eller 2 ganger -5. Skriv ned disse parene et sted for å huske dem.
- Ikke endre svaret vårt enda. Svaret vårt bør fortsatt se slik ut: (x _) (x _).
Trinn 6. Test mulighetene som matcher det ytre og indre produktet
Vi har begrenset de siste vilkårene til noen få muligheter. Bruk prøvesystemet for å teste alle muligheter, multiplisere ytre og indre termer og sammenligne produktet med vårt trinomium. For eksempel:
- Vårt opprinnelige problem hadde begrepet "x" på 3x, så testresultatene våre burde matche dette begrepet.
- Tester -1 og 10: (x -1) (x+10). Utvendig + Innvendig = 10x - x = 9x. Feil.
- Tester 1 og -10: (x+1) (x -10). -10x + x = -9x. Dette er feil. Faktisk, hvis du tester -1 og 10, finner du ut at 1 og -10 er det motsatte av svaret ovenfor: -9x i stedet for 9x.
- Tester -2 og 5: (x -2) (x+5). 5x - 2x = 3x. Resultatet tilsvarer det innledende polynomet, så her er det riktige svaret: (x-2) (x+5).
- I enkle tilfeller som dette, hvis du ikke har en konstant foran begrepet x2, du kan bruke den raske måten: bare legg sammen de to faktorene og sett et "x" bak det (-2+5 → 3x). Denne metoden fungerer imidlertid ikke for mer komplekse problemer, så det er bedre å huske den "lange veien" beskrevet ovenfor.
Metode 2 av 3: Factoring More Complex Trinomials
Trinn 1. Bruk enkel factoring for å gjøre mer komplekse problemer enklere
For eksempel må du faktorere 3x2 + 9x - 30. Finn et tall som kan faktor alle tre begrepene ("største felles faktor" eller GCF). I dette tilfellet er GCF 3:
- 3x2 = (3) (x2)
- 9x = (3) (3x)
- -30 = (3)(-10)
- Således er 3x2 + 9x - 30 = (3) (x2+3x-10). Vi kan faktorisere det nye trinomiet ved å bruke trinnene i delen ovenfor. Det endelige svaret vårt blir (3) (x-2) (x+5).
Trinn 2. Se etter mer kompliserende faktorer
Noen ganger kan factoring involvere en variabel, eller du må kanskje faktorere flere ganger for å finne det enkleste mulige uttrykket. Her er noen eksempler:
- 2x2y + 14xy + 24y = (2y)(x2 + 7x + 12)
- x4 + 11x3 - 26x2 = (x2)(x2 +11x - 26)
- -x2 + 6x - 9 = (-1)(x2 - 6x + 9)
- Ikke glem å refaktorere det nye trinomiet ved å følge trinnene i metode 1. Kontroller arbeidet ditt og se etter eksempler på lignende problemer i eksempelspørsmålene nederst på denne siden.
Trinn 3. Løs problemer med et tall foran x2.
Noen kvadratiske trinomier kan ikke reduseres til den enkleste typen problem. Lær hvordan du løser problemer som 3x2 + 10x + 8, og øv deretter på egen hånd med eksemplene på spørsmålene nederst på denne siden:
- Sett vårt svar til å være: (_ _)(_ _)
- Våre "første" termer vil hver ha en x, og å multiplisere dem gir 3x2. Det er bare en mulighet: (3x _) (x _).
- Oppgi faktorene til 8. Oddsen er 1 ganger 8 eller 2 ganger 4.
- Test denne muligheten ved å bruke ytre og indre termer. Vær oppmerksom på at rekkefølgen på faktorene er veldig viktig fordi det ytre begrepet multipliseres med 3x i stedet for x. Prøv alle muligheter til du får Out+In = 10x (fra det opprinnelige problemet):
- (3x+1) (x+8) → 24x+x = 25x Nei
- (3x+8) (x+1) → 3x+8x = 11x Nei
- (3x+2) (x+4) → 12x+2x = 14x Nei
- (3x+4) (x+2) → 6x+4x = 10x ja. Dette er den riktige faktoren.
Trinn 4. Bruk substitusjon for trinomier av høyere orden
Din mattebok kan overraske deg med ligninger med høye krefter, for eksempel x4, selv etter at du bruker enkel factoring for å gjøre problemet enklere. Prøv å erstatte en ny variabel som gjør det til et problem du vet hvordan du skal løse. For eksempel:
- x5+13x3+36x
- = (x) (x4+13x2+36)
- La oss lage en ny variabel. La oss si y = x2 og legg inn det:
- (x) (y2+13y+36)
- = (x) (y+9) (y+4). Konverter den nå tilbake til den opprinnelige variabelen:
- = (x) (x2+9) (x2+4)
- = (x) (x ± 3) (x ± 2)
Metode 3 av 3: Factoring Special Cases
Trinn 1. Finn primtall
Se om konstanten i det første eller tredje uttrykket i treenigheten er et primtall. Et primtall er bare delbart av seg selv og 1, så det er bare ett par binomiske faktorer.
- For eksempel i x2 + 6x + 5, 5 er et primtall, så binomialet må ha formen (_ 5) (_ 1).
- I problemet med 3x2+10x+8, 3 er et primtall, så binomialet må ha formen (3x _) (x _).
- For spørsmål 3x2+4x+1, både 3 og 1 er primtall, så den eneste mulige løsningen er (3x+1) (x+1). (Du bør fortsatt multiplisere dette tallet for å sjekke svaret ditt fordi noen uttrykk ikke kan regnes med i det hele tatt - for eksempel 3x2+100x+1 har ingen faktor.)
Trinn 2. Finn ut om treenigheten er en perfekt firkant
Et perfekt kvadratisk trinomial kan deles inn i to identiske binomialer, og faktoren skrives vanligvis som (x+1)2 og ikke (x+1) (x+1). Her er noen eksempler som pleier å vises i spørsmål:
- x2+2x+1 = (x+1)2, og x2-2x+1 = (x-1)2
- x2+4x+4 = (x+2)2, og x2-4x+4 = (x-2)2
- x2+6x+9 = (x+3)2, og x2-6x+9 = (x-3)2
- Perfekt firkantet treenighet i form a x2 + bx + c har alltid vilkår a og c som er positive perfekte firkanter (som 1, 4, 9, 16 eller 25) og ett begrep b (positivt eller negativt) som er lik 2 (√a * √c).
Trinn 3. Finn ut om et problem ikke har noen løsning
Ikke alle trinomier kan regnes med. Hvis du ikke kan faktorisere et kvadratisk trinomium (aks2+bx+c), bruk den kvadratiske formelen for å finne svaret. Hvis det eneste svaret er kvadratroten til et negativt tall, er det ingen løsning for reelt tall, så har problemet ingen faktorer.
For ikke-firkantede treenigheter, bruk Eisenstein-kriteriet, som er beskrevet i Tips-delen
Svar og eksempler på spørsmål
-
Svar på "kompliserte factoring" -spørsmål.
Dette er spørsmål fra trinnet "mer kompliserte faktorer". Vi har forenklet problemene til enklere, så prøv å løse dem ved å følge trinnene i metode 1, og sjekk arbeidet ditt her:
- (2y) (x2 + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
- (x2) (x2 + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
- (-1) (x2 -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)2
-
Prøv mer komplekse factoring -problemer.
Disse problemene har den samme faktoren i hvert begrep som må tas i betraktning først. Blokker emnene etter likhetstegnet for å se svarene, slik at du kan sjekke arbeidet ditt:
- 3x3+3x2-6x = (3x) (x+2) (x-1) blokker blanket for å se svaret
- -5x3y2+30x2y2-25y2x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)
-
Øv på å bruke spørsmål. Disse problemene kan ikke deles inn i enklere ligninger, så du må finne svaret i skjemaet (_x + _) (_ x + _) ved hjelp av trial and error:
- 2x2+3x-5 = (2x+5) (x-1) blokk for å se svaret
- 9x2+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)2 (Tips: Det kan være lurt å prøve mer enn ett faktorpar for 9x.)
Tips
- Hvis du ikke kan finne ut hvordan du faktoriserer et kvadratisk trinomin (aks2+bx+c), kan du bruke den kvadratiske formelen til å finne x.
-
Selv om du ikke trenger å vite hvordan du gjør dette, kan du bruke Eisenstein -kriteriene til å raskt avgjøre om et polynom ikke kan forenkles og faktoriseres. Dette kriteriet gjelder for ethvert polynom, men brukes best for trinomier. Hvis det er et primtall p som deler de to siste begrepene jevnt og tilfredsstiller følgende betingelser, kan polynomet ikke forenkles:
- Konstante termer (uten variabler) er multipler av p, men ikke multipler av p2.
- Prefikset (for eksempel a in ax2+bx+c) er ikke et multiplum av s.
- For eksempel 14x2 +45x +51 kan ikke forenkles fordi det er et primtall (3) som kan deles med både 45 og 51, men ikke delbart med 14, og 51 er ikke delbart med 32.
Advarsel
Selv om dette er sant for kvadratiske trinomialer, er trinominiet som kan regnes med ikke nødvendigvis produktet av to binomialer. For eksempel, x4 + 105x + 46 = (x2 + 5x + 2) (x2 - 5x + 23).
