En rasjonell ligning er en brøkdel med en eller flere variabler i telleren eller nevneren. En rasjonell ligning er enhver brøkdel som involverer minst en rasjonell ligning. Som vanlige algebraiske ligninger, løses rasjonelle ligninger ved å utføre den samme operasjonen på begge sider av ligningen til variablene kan overføres til hver side av ligningen. To spesielle teknikker, kryssmultiplikasjon og å finne den minst felles nevneren, er veldig nyttige måter å flytte variabler og løse rasjonelle ligninger.
Steg
Metode 1 av 2: Kryssmultiplikasjon
Trinn 1. Om nødvendig, omorganiser ligningen for å få en brøkdel på den ene siden av ligningen
Kryssmultiplikasjon er en rask og enkel måte å løse rasjonelle ligninger på. Dessverre kan denne metoden bare brukes for rasjonelle ligninger som inneholder minst en rasjonell ligning eller brøkdel på hver side av ligningen. Hvis ligningen din ikke oppfyller disse kryssproduktkravene, må du kanskje bruke algebraiske operasjoner for å flytte delene til de riktige stedene.
-
For eksempel kan ligningen (x + 3)/4-x/(-2) = 0 enkelt settes i kryssproduktform ved å legge x/(-2) til begge sider av ligningen, slik at den blir (x + 3)/4 = x/(-2).
Vær oppmerksom på at desimal- og hele tall kan konverteres til brøk ved å gi nevneren 1. (x + 3)/4 - 2, 5 = 5, for eksempel, kan skrives om til (x + 3)/4 = 7, 5/ 1, slik at den tilfredsstiller kryssmultiplikasjonstilstanden
- Noen rasjonelle ligninger kan ikke lett reduseres til en form som har en brøkdel eller rasjonell ligning på hver side. I slike tilfeller bruker du den minste nevneren.
Trinn 2. Kryss multipliser
Kryss multiplisere betyr å multiplisere en av tellerne av en brøk med nevneren til en annen brøk og omvendt. Multipliser telleren av brøken til venstre med nevneren til brøken til høyre. Gjenta med høyre nevner med venstre nevner.
Kryssmultiplikasjon fungerer i henhold til grunnleggende algebraiske prinsipper. Rasjonelle ligninger og andre brøker kan gjøres til ikke-fraksjoner ved å multiplisere dem med nevneren. Kryssprodukt er i utgangspunktet en rask måte å multiplisere begge sider av en ligning med begge nevnere. Tror ikke? Prøv det - du får det samme resultatet etter å ha forenklet det
Trinn 3. Gjør de to produktene like med hverandre
Etter kryssmultiplikasjon får du to multiplikasjonsresultater. Gjør dem lik hverandre og forenkle for å gjøre ligningen så enkel som mulig.
For eksempel, hvis den opprinnelige rasjonelle ligningen var (x+3)/4 = x/(-2), etter kryssmultiplikasjon, blir den nye ligningen -2 (x+3) = 4x. Hvis du vil, kan du også skrive det som -2x - 6 = 4x
Trinn 4. Finn verdien av variabelen
Bruk algebraiske operasjoner for å finne verdien av ligningens variabel. Husk at hvis x vises på begge sider av ligningen, må du legge til eller trekke x fra begge sider av ligningen for å la x stå på bare den ene siden av ligningen.
I vårt eksempel kan vi dele begge sider av ligningen med -2, så x+3 = -2x. Å trekke x fra begge sider gir 3 = -3x. Til slutt, ved å dele begge sider med -3, blir resultatet -1 = x, som kan skrives som x = -1. Vi har funnet verdien av x og løst vår rasjonelle ligning
Metode 2 av 2: Finne den minst fellesnevneren
Trinn 1. Vet det nøyaktige tidspunktet for bruk av den minste nevneren
Den samme minste nevneren kan brukes til å forenkle rasjonelle ligninger, slik at de kan søkes etter variable verdier. Å finne den minst felles nevneren er en god idé hvis den rasjonelle ligningen din ikke lett kan skrives i form av en brøk (og bare en brøk) på hver side av ligningen. For å løse rasjonelle ligninger med tre eller flere deler, er den minst felles nevneren nyttig. For å løse en rasjonell ligning med bare to deler, er det imidlertid raskere å bruke kryssprodukt.
Trinn 2. Kontroller nevneren for hver brøk
Identifiser det minste tallet som hver nevner kan dele og produsere et helt tall. Dette tallet er den minst fellesnevner for ligningen din.
- Noen ganger er den minste fellesnevneren - det vil si det minste tallet som har alle faktorene i nevneren - godt synlig. For eksempel, hvis ligningen din er x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, er det ikke vanskelig å se det minste tallet som har en faktor 3, 2 og 6, som er tallet 6.
- Imidlertid er ofte den minst felles nevneren til en rasjonell ligning ikke tydelig synlig. I et tilfelle som dette, prøv å sjekke multipler av den større nevneren til du finner et tall som har en faktor for alle de andre mindre nevnerne. Ofte er den minst felles nevneren produktet av to nevnere. For eksempel, i ligningen x/8 + 2/6 = (x-3)/9, er den minst felles nevneren 8*9 = 72.
- Hvis en eller flere av brøkdelens nevnere har variabler, er denne prosessen vanskeligere, men mulig å gjøre. I et tilfelle som dette er den minst felles nevneren en ligning (med en variabel) som er delelig med alle andre nevnere. For eksempel i ligningen 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) er den minst felles nevneren 3x (x-1) fordi enhver nevner kan dele den-dividere med (x-1) gir 3x, dividere med 3x gir (x-1), og dividere med x gir 3 (x-1).
Trinn 3. Multipliser hver brøkdel i den rasjonelle ligningen med 1
Å multiplisere hver del med 1 virker ubrukelig. Men her er trikset. 1 kan defineres som et hvilket som helst tall som er det samme i både teller og nevner, for eksempel -2/2 og 3/3, som er den riktige måten å skrive 1. Denne metoden utnytter den alternative definisjonen. Multipliser hver brøk i din rasjonelle ligning med 1, og skriv ned tallet 1 som multiplisert med nevneren gir den minste fellesnevner.
- I vårt grunneksempel multipliserer vi x/3 med 2/2 for å få 2x/6 og multipliserer 1/2 med 3/3 for å få 3/6. 2x + 1/6 har allerede den minste nevneren, som er 6, så vi kan multiplisere den med 1/1 eller la den være i fred.
- I vårt eksempel med en variabel i nevneren til fraksjonen, er prosessen litt mer komplisert. Siden vår minste nevner er 3x (x-1), multipliserer vi hver rasjonelle ligning med noe som returnerer 3x (x-1). Vi vil multiplisere 5/(x-1) med (3x)/(3x) som gir 5 (3x)/(3x) (x-1), multiplisere 1/x med 3 (x-1)/3 (x- 1) som gir 3 (x-1)/3x (x-1), og multipliserer 2/(3x) med (x-1)/(x-1) gir 2 (x-1)/3x (x- 1).
Trinn 4. Forenkle og finn verdien av x
Siden hver del av din rasjonelle ligning har samme nevner, kan du fjerne nevneren fra ligningen din og løse telleren. Multipliser begge sider av ligningen for å få tellerverdien. Deretter bruker du algebraiske operasjoner for å finne verdien av x (eller hvilken variabel du vil løse) på den ene siden av ligningen.
- I vårt grunneksempel, etter å ha multiplisert alle delene med alternativ form 1, får vi 2x/6 + 3/6 = (3x + 1)/6. To brøk kan legges til hvis de har samme nevner, så vi kan forenkle denne ligningen til (2x+3)/6 = (3x+1)/6 uten å endre verdien. Multipliser begge sider med 6 for å fjerne nevneren, så resultatet er 2x+3 = 3x+1. Trekk 1 fra begge sider for å få 2x+2 = 3x, og trekk 2x fra begge sider for å få 2 = x, som kan skrives som x = 2.
- I vårt eksempel med en variabel i nevneren blir ligningen vår etter multiplisering med 1 5 (3x)/(3x) (x-1) = 3 (x-1)/3x (x-1) + 2 (x-1) /3x (x-1). Multiplisere alle delene med den minste nevneren, slik at vi kan utelate nevneren, blir 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). Dette gjelder også 5x = 3x -3 + 2x -2, noe som forenkler til 15x = x -5. Å trekke x fra begge sider gir 14x = -5, som til slutt forenkler til x = -5/14.
Tips
- Når du har løst variabelen, sjekker du svaret ditt ved å koble variabelens verdi til den opprinnelige ligningen. Hvis variabelverdien din er riktig, kan du forenkle den opprinnelige ligningen til en enkel setning som alltid er lik 1 = 1.
- Vær oppmerksom på at du kan skrive hvilket som helst polynom som en rasjonell ligning; sette den over nevneren 1. Så x+3 og (x+3)/1 har samme verdi, men den andre ligningen kan klassifiseres som en rasjonell ligning fordi den er skrevet som en brøk.
