Selv om det til tider kan virke skremmende, er kvadratrotproblemet faktisk ikke så vanskelig å løse. Enkle kvadratrotproblemer kan vanligvis løses like enkelt som grunnleggende multiplikasjons- og divisjonsproblemer. For mer komplekse spørsmål, krever det litt ekstra innsats. Men med riktig tilnærming kan ethvert vanskelig problem løses. Gjennom denne artikkelen vil vi hjelpe deg med å løse kvadratrotproblemer i noen få enkle trinn.
Steg
Del 1 av 3: Forstå firkanter og kvadratrøtter
Trinn 1. Kvadraten er tallet multiplisert med selve tallet
For å forstå kvadratroten er det godt å forstå betydningen av kvadratet først. Enkelt sagt, et kvadrat er et tall multiplisert med selve tallet. For eksempel er 3 kvadrat 3 ganger 3 = 9 og 9 i kvadrat er 9 ganger 9 = 81. Kvadraten er representert med den lille 2 øverst til høyre i tallet i kvadrat - slik: 32, 92, 1002, etc.
Prøv å kvadrere noen andre tall for å teste dette konseptet. Husk at kvadrering av et tall er å multiplisere et tall med seg selv. Du kan til og med kvadrere negative tall. Resultatet vil alltid være et positivt tall. For eksempel -82 = -8 × -8 = 64.
Trinn 2. Kvadratroten er kvadratets gjensidige
Symbolet for kvadratroten (√, også kjent som det "radikale" symbolet) er egentlig det motsatte av symbolet 2. Når du finner en radikal, spør deg selv: hvilket tall, hvis kvadratisk, ville resultere i tallet inne i radikalen? For eksempel, hvis du ser på √ (9), finner du tallet som når kvadratet er ni. Dermed er svaret "tre", fordi 32 = 9.
-
Som et annet eksempel, la oss prøve å finne kvadratroten til 25 (√ (25)). Det vil si at vi leter etter et tall som når kvadratisk er resultatet 25. Fordi 52 = 5 × 5 = 25, deretter (25) =
Trinn 5..
-
Kvadratroten kan også betraktes som å "angre" firkanten. For eksempel, hvis vi vil finne (64), kvadratroten til 64, tenk deretter på 64 som 82. Siden kvadratrotsymbolet i hovedsak "negerer" kvadrat -symbolet, derfor (64) = (82) =
Trinn 8..
Trinn 3. Kjenn forskjellen mellom perfekte og ufullkomne firkanter
Til nå var resultatene av våre kvadratrotberegninger hele tall. Spørsmålene du vil møte senere vil ikke være så enkle, det vil være spørsmål med desimalnummer svar med noen få sifre bak kommaet. Tall som er avrundet etter kvadrering (det vil si ikke brøk- eller desimaltall) blir også referert til som "perfekte firkanter". Alle de tidligere eksemplene (9, 25 og 64) er perfekte firkanter fordi hvis de er kvadrert, er resultatet et helt tall (3, 5 og 8).
På den annen side er tall som ikke er avrundet etter at de er kvadrert, "ufullkomne firkanter". Vanligvis, etter kvadrering er resultatet et brøk- eller desimaltall. Noen ganger ser til og med tallene veldig kompliserte ut, som (13) = 3, 605551275464…
Trinn 4. Husk kvadratet med tallene 1-12
Som du allerede vet, er det veldig enkelt å kvadrere et perfekt kvadratnummer. Å huske kvadratene til tallene 1-12 kan være veldig nyttig fordi disse tallene vil vises mye i problemet. Dermed vil du spare tid mens du jobber med spørsmålene. De første 12 firkantede tallene er::
-
12 = 1 × 1 =
Trinn 1.
-
22 = 2 × 2 =
Trinn 4.
-
32 = 3 × 3 =
Trinn 9.
-
42 = 4 × 4 =
Trinn 16.
-
52 = 5 × 5 =
Trinn 25.
- 62 = 6 × 6 = 36
- 72 = 7 × 7 = 49
- 82 = 8 × 8 = 64
- 92 = 9 × 9 = 81
- 102 = 10 × 10 = 100
- 112 = 11 × 11 = 121
- 122 = 12 × 12 = 144
Trinn 5. Forenkle kvadratroten ved å fjerne de perfekte rutene
Det kan være vanskelig å finne kvadratroten til et ufullkommen kvadratnummer, spesielt hvis du ikke bruker en kalkulator. Imidlertid kan tallet som skal kvadreres forenkles for å gjøre det lettere å beregne. For å gjøre dette, bare del tallet inne i radikalen i flere faktorer, fjern deretter kvadratroten til de perfekte kvadratnumrene og skriv svaret utenfor radikalen. Denne metoden er ganske enkel å gjøre - for å gi deg en bedre forståelse, her er mer forklaring:
- La oss si at vi ønsker å beregne kvadratroten til 900. Så bare del 900 inn i faktorene. "Faktorer" er tall som kan multipliseres sammen for å produsere et annet tall. For eksempel kan tallet 6 oppnås ved å multiplisere og 1 × 6 og 2 × 3, så faktorene til 6 er 1, 2, 3 og 6.
- Med det prinsippet i tankene, la oss bryte ned 900 i faktorene. Til å begynne med skriver vi 900 som 9 × 100. Siden 9 er en perfekt firkant, kan vi ta kvadratroten på 100 separat. (9 × 100) = (9) × (100) = 3 × (100). Med andre ord, (900) = 3√(100).
-
Vi kan forenkle det ytterligere ved å dele 100 inn i dets faktorer, nemlig 25 og 4. (100) = (25 × 4) = (25) × (4) = 5 × 2 = 10. Kan derfor beregnes (900) = 3 (10) =
Trinn 30..
Trinn 6. Bruk et tenkt tall for kvadratroten til et negativt tall
Tenk, hvilket tall hvis resultatet er -16 i kvadrat? Svaret, nei. Alle tall i kvadrat er resultatet alltid positivt, fordi det er negativt (-), når det multipliseres med negativt er resultatet positivt (+). Så, for å kvadrere et negativt tall, må vi erstatte det negative tallet med et tenkt tall (vanligvis i form av bokstaver eller symboler). For eksempel brukes variabelen "i" vanligvis for kvadratroten til -1. Et imaginært tall er alltid i kvadratroten til et negativt tall.
Det bør bemerkes at selv om imaginære tall aldri blir representert med tall, kan de fremdeles behandles som tall på forskjellige måter. For eksempel kan kvadratroten til et negativt tall kvadreres for å fjerne kvadratroten. For eksempel, jeg2 = - 1
Del 2 av 3: Bruk Long Division Style Algorithm
Trinn 1. Løs kvadratrotproblemer som lange delingsproblemer
Selv om tidkrevende, vanskelige kvadratrotproblemer kan løses uten kalkulator. For å gjøre dette, vil vi bruke en metode (eller algoritme) som ligner på langbunkeinndeling.
- Start med å skrive kvadratrotproblemet som du ville gjort med et langt divisjonsproblem. Som et eksempelproblem finner du roten til 6, 45, som ikke er et helt tall. Først skriver vi det radikale symbolet (√), deretter under det skriver vi tallet vi vil ta kvadratet med. Tegn deretter en linje over tallene, akkurat som lang stabling. Nå ser "√" -symbolet ut som om den har en hale med tallet 6.45 nederst.
- Vi skriver tallene over problemet, så sørg for å la det stå tomt.
Trinn 2. Grupper tallene i tallet i par
Først grupper sifrene i tallet under radikalen i par, med begynnelsen på desimalpunktet. Lag en slags markør (punktum, komma, linje osv.) Mellom par for enkel sporing.
I eksempelproblemet vil 6, 45 bli delt inn i 6-, 45-00. Husk at det er "gjenværende" siffer til venstre - dette er ikke et problem.
Trinn 3. Finn det største tallet hvis kvadratverdi er mindre enn eller lik den første gruppen
Start med det første nummeret i gruppen til venstre. Velg det største tallet hvis kvadratverdi er mindre eller lik i gruppen. For eksempel, hvis gruppen er 37, så velg 6 fordi 62 = 36 <37 men 72 = 49> 37. Skriv dette tallet over den første gruppen. Dette tallet er det første sifferet i svaret ditt.
-
I eksempelproblemet er den første gruppen på 6-, 45-00 6. Det største tallet som er mindre enn eller lik 6 når det er kvadrert
Steg 2. - 22 = 4. Skriv tallet "2" over 6 og halen er en radikal.
Trinn 4. Multipliser tallet du nettopp skrev ned, senk det og trekk det deretter
Ta det første sifferet i svaret ditt (skrevet over radikalen) og multipliser det. Skriv svaret under den første gruppen og trekk for å finne forskjellen. Slipp den neste gruppen til høyre for differansen du nettopp har beregnet. Skriv til slutt det siste sifferet for å multiplisere det første sifferet i svaret ditt til venstre og la det stå et tomt mellomrom til høyre.
I eksempelproblemet er tallet som er doblet 2 (det første sifferet i forrige svar). 2 × 2 = 4. Deretter trekker du 4 av 6 (fra den første gruppen). 6 - 4 er resultatet 2. Deretter tar du ned den neste gruppen (45) og vi får 245. Til slutt skriver du tallet 4 igjen til venstre og lar det være litt mellomrom til høyre, slik: 4_
Trinn 5. Fyll ut det tomme feltet
Legg til sifrene til høyre for tallet du skrev til venstre. Velg sifferet som gir den største verdien når det multipliseres med dette nye tallet, men som fortsatt er mindre enn eller lik det "avledede tallet". For eksempel, hvis det “avledede tallet” er 1700 og tallet til venstre er 40_, er tallet som skal angis “4” fordi 404 × 4 = 1616 <1700, mens 405 × 5 = 2025. Tallet som finnes i dette trinnet er det andre sifferet i svaret ditt, så skriv det over det radikale symbolet.
-
I eksempelproblemet vil vi se etter tallet ved siden av 4_ × _ hvis svar er det største tallet, men er mindre enn eller lik 245. Svaret er
Trinn 5.. 45 × 5 = 225, mens 46 × 6 = 276.
Trinn 6. Fortsett å bruke "blank mellomrom" tallene for å finne svaret ditt
Fortsett det lange stablingsdelingsmønsteret til forskjellen mellom subtraksjonene til tallene som blir avledet er null, eller et ganske nøyaktig tall er oppnådd. Når du er ferdig, utgjør tallene du brukte for å fylle ut feltene i hvert trinn (pluss det aller første tallet du brukte) hvert siffer i svaret ditt.
-
I eksempelproblemet trekker du 245 med 220 for å få 20. Deretter senker vi den neste gruppen med sifre, 00 og får 2000. Multipliser tallet over det radikale symbolet, og vi får 25 × 2 = 50. For å fylle ut i emnene på 50_ × _ =/<2 000 får vi tallet
Trinn 3.. Nå har vi "253" over det radikale symbolet - gjenta denne prosessen igjen, og få 9 i det neste sifferet.
Trinn 7. Fjern desimaltegnet fra opprinnelsen
For å få det endelige svaret, sett desimaltegnet i riktig posisjon. Det er enkelt - bare sett desimaltegnet på linje med desimaltegnet under det radikale symbolet. For eksempel er tallet under radikalen 49, 8, så sett et desimalpunkt mellom tallene over 8 og 9.
I eksempelproblemet, hvis tallet under radikalen er 6, 45, vil desimaltegnet være på linje mellom sifrene 2 og 5. Dette betyr at det endelige svaret er 2, 539.
Del 3 av 3: Beregn raskt ufullkomne firkanter
Trinn 1. Finn det ufullkomne torget ved hjelp av tilnærming
Når du har lagret perfekte firkanter, vil det være mye lettere å finne ufullkomne firkanter. Trikset er å finne en perfekt firkant før og etter nummeret du leter etter. Bestem deretter hvilken av de to perfekte rutene som er nærmest tallet du leter etter.
For eksempel vil vi finne kvadratroten til 40. Det perfekte kvadratnummeret før og etter 40 er 62 og 72, som er 36 og 49. Siden 40 er større enn 36 og mindre enn 49, må kvadratroten på 40 være mellom 6 og 7. Tallet 40 er nærmere 36 enn 49, så kvadratroten på 40 er nærmere 6. Her er noen trinn for å finne et nøyaktig svar.
Trinn 2. Estimere kvadratroten til ett siffer etter kommaet
Når du har bestemt to perfekte kvadratall før og etter tallet du leter etter, er resten prosessen med å finne tallet bak kommaet som er nærmest svaret. Start med det estimerte ett-sifrede tallet etter kommaet. Denne prosessen vil fortsette å gjenta til du får et svar med den nøyaktigheten du ønsker.
I eksempelproblemet er den rimelige tilnærmingen til kvadratroten på 40 6, 4, fordi svaret mest sannsynlig er nærmere 6 enn 7.
Trinn 3. Multipliser det estimerte antallet med selve tallet
Med andre ord, firkant det omtrentlige tallet. Hvis du er heldig, blir resultatet tallet i problemet. Hvis ikke, fortsett å legge til eller trekke tallene etter komma til du finner kvadratet nærmest tallet i problemet.
- Multipliser 6, 4 med 6, 4 for å få 6, 4 × 6, 4 = 40, 96, som er litt over 40.
- Siden det første eksperimentet var overflødig, trekker du din tilnærming med en desimal, som er 6, 3 × 6, 3 = 39, 69. Dette resultatet er litt under tallet i problemet. Dette betyr at kvadratroten på 40 er mellom 6, 3 og 6, 4. Siden 39.69 er nærmere 40, er kvadratroten på 40 også nærmere 6, 3.
Trinn 4. Videresend prognoser etter behov
Bruk svaret ditt hvis du synes det er nøyaktig nok. Men hvis ikke, bare fortsett det omtrentlige mønsteret ovenfor til du finner et svar med tre eller fire sifre etter kommaet - uansett til du når det nøyaktighetsnivået du ønsker.
