Determinanten for matriser brukes ofte i beregning, lineær algebra og geometri på et høyere nivå. Utenfor akademia bruker datagrafikkingeniører og programmerere hele tiden matriser og deres determinanter. Hvis du allerede vet hvordan du bestemmer determinanten til en matrise i størrelsesorden 2x2, trenger du bare å lære når du skal bruke addisjon, subtraksjon og tider for å bestemme determinanten til en matrise av rekkefølge 3x3.
Steg
Del 1 av 2: Bestemmelse av determinanter
Skriv din 3 x 3 ordrematrise. Vi starter med en matrise A av orden 3x3 og prøver å finne determinanten | A |. Nedenfor er den generelle formen for matrisenotasjon vi vil bruke og et eksempel på matrisen vår:
| en11 | en12 | en13 | 1 | 5 | 3 | |||
| M | = | en21 | en22 | en23 | = | 2 | 4 | 7 |
| en31 | en32 | en33 | 4 | 6 | 2 |
Trinn 1. Velg en rad eller kolonne
Gjør valget ditt til referanseraden eller kolonnen. Uansett hva du velger, får du fortsatt det samme svaret. Velg den første raden midlertidig. Vi gir deg noen forslag til valg av det enkleste å beregne alternativet i neste avsnitt.
Velg den første raden i eksempelmatrisen A. Sirkel tallet 1 5 3. Sirkel a i vanlig notasjon11 en12 en13.
Trinn 2. Kryss ut raden og kolonnen i det første elementet
Se på raden eller kolonnen du sirklet rundt, og velg det første elementet. Kryss over radene og kolonnene. Det vil bare være 4 tall uberørt. Gjør disse 4 tallene til en 2 x 2 ordensmatrise.
- I vårt eksempel er referanseraden vår 1 5 3. Det første elementet er i 1. rad og 1. kolonne. Kryss av hele 1. rad og 1. kolonne. Skriv de resterende elementene inn i en 2 x 2 matrise:
- 1 5 3
- 2 4 7
- 4 6 2
Trinn 3. Bestem determinanten for 2 x 2 ordensmatrisen
Husk, bestem determinanten for matrisen [enc bd] av annonse - bc. Du kan også ha lært å bestemme determinanten for en matrise ved å tegne et X mellom en 2 x 2. Matrisen multipliserer de to tallene som er forbundet med linjen / av X. Deretter trekker du fra antallet ganger de to tallene er forbundet med linjen / er. Bruk denne formelen til å beregne determinanten til en 2 x 2 matrise.
- I eksemplet er determinanten for matrisen [46 72] = 4*2 - 7*6 = - 34.
- Denne determinanten kalles liten av elementene du valgte i den opprinnelige matrisen. I dette tilfellet har vi nettopp funnet den mindreårige av a11.
Trinn 4. Multipliser tallet som ble funnet med elementet du valgte
Husk at du har valgt elementer fra referanseraden (eller kolonnen) da du bestemte deg for hvilke rader og kolonner som skulle slettes. Multipliser dette elementet med determinanten for 2 x 2 -matrisen du har funnet.
I eksemplet velger vi a11 som er 1. Multipliser dette tallet med -34 (determinanten for 2 x 2 -matrisen) for å få 1*-34 = - 34.
Trinn 5. Bestem symbolet for svaret ditt
Det neste trinnet er at du må multiplisere svaret ditt med 1 eller -1 for å få kofaktor av elementet du valgte. Symbolet du bruker, avhenger av hvor elementene er i matrisen 3 x 3. Husk at denne symboltabellen brukes til å bestemme elementets multiplikator:
- + - +
- - + -
- + - +
- Fordi vi velger a11 som er merket med +, multipliserer vi tallet med +1 (eller med andre ord, ikke endre det). Svaret som dukker opp vil være det samme, nemlig - 34.
- En annen måte å definere et symbol på er å bruke formelen (-1) i+j hvor i og j er rad- og kolonneelementer.
Trinn 6. Gjenta denne prosessen for det andre elementet i referanseraden eller kolonnen
Gå tilbake til den opprinnelige 3 x 3 -matrisen som du sirklet raden eller kolonnen i tidligere. Gjenta den samme prosessen med elementet:
-
Kryss av raden og kolonnen til elementet.
Velg i så fall elementet a12 (som er verdt 5). Kryss av den første raden (1 5 3) og den andre kolonnen (5 4 6).
-
Gjør de resterende elementene til en 2x2 matrise.
I vårt eksempel er 2x2 ordrematrisen for det andre elementet [24 72].
-
Bestem determinanten for denne 2x2 -matrisen.
Bruk ad - bc formelen. (2*2 - 7*4 = -24)
-
Multipliser med elementene i den valgte 3x3 -matrisen.
-24 * 5 = -120
-
Bestem om du vil multiplisere resultatet ovenfor med -1 eller ikke.
Bruk en tabell med symboler eller formler (-1)ij. Velg element a12 symbolisert - i symboltabellen. Erstatt svarsvaret vårt med: (-1)*(-120) = 120.
Trinn 7. Gjenta den samme prosessen for det tredje elementet
Du har en kofaktor til for å bestemme determinanten. Tell i for det tredje elementet i referanseraden eller kolonnen. Her er en rask måte å beregne kofaktoren a13 i vårt eksempel:
- Kryss av første rad og tredje kolonne for å få [24 46].
- Determinanten er 2*6 - 4*4 = -4.
- Multipliser med element a13: -4 * 3 = -12.
- Element a13 symbol + i symboltabellen, så svaret er - 12.
Trinn 8. Legg sammen resultatene av dine tre tellinger
Dette er det siste trinnet. Du har beregnet tre kofaktorer, en for hvert element i en rad eller kolonne. Legg til disse resultatene, og du finner determinanten for en 3 x 3 matrise.
I eksemplet er determinanten for matrisen - 34 + 120 + - 12 = 74.
Del 2 av 2: Gjør problemløsning enklere
Trinn 1. Velg raden eller kolonnen med referanser som har flest 0 -er
Husk at du kan velge hvilken rad eller kolonne du vil. Uansett hva du velger, vil svaret være det samme. Hvis du velger en rad eller kolonne med tallet 0, trenger du bare å beregne kofaktoren med elementer som ikke er 0 fordi:
- For eksempel, velg den andre raden som har elementet a21, a22, fond23. For å løse dette problemet, vil vi bruke 3 forskjellige 2 x 2 matriser, la oss si A21, A.22, Du23.
- Determinanten for 3x3 -matrisen er a21| A.21| - a22| A.22| + a23| A.23|.
- Hvis en22 fond23 verdi 0, vil den eksisterende formelen være a21| A.21| - 0*| A.22| + 0*| A.23| = a21| A.21| - 0 + 0 = a21| A.21|. Derfor vil vi bare beregne kofaktoren for bare ett element.
Trinn 2. Bruk ekstra rader for å gjøre matriseproblemer enklere
Hvis du tar verdiene fra en rad og legger dem til en annen rad, vil ikke determinanten for matrisen endres. Det samme gjelder kolonner. Du kan gjøre dette gjentatte ganger eller multiplisere med en konstant før du legger den til for å få så mange 0 -er i matrisen som mulig. Dette kan spare mye tid.
- For eksempel har du en matrise med 3 rader: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
- For å eliminere tallet 9 som er i posisjon a11, kan du multiplisere verdien i andre rad med -3 og legge resultatet til den første raden. Nå er den nye første linjen [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
- Den nye matrisen har rader [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]. Bruk det samme trikset på kolonner for å lage en12 være tallet 0.
Trinn 3. Bruk hurtigmetoden for trekantede matriser
I dette spesielle tilfellet er determinanten produktet av elementene på hoveddiagonalen, av a11 øverst til venstre til a33 nederst til høyre i matrisen. Denne matrisen er fortsatt en 3x3 matrise, men "trekanten" -matrisen har et spesielt mønster av tall som ikke er 0:
- Øvre triangulære matrise: Alle elementer som ikke er 0 er på eller over hoveddiagonalen. Alle tall under hoveddiagonalen er 0.
- Nederste trekantede matrise: Alle elementer som ikke er 0 er på eller under hoveddiagonalen.
- Diagonal matrise: Alle elementer som ikke er 0 er på hoveddiagonalen (delsettet av de ovennevnte matrisene).
Tips
- Hvis alle elementene i en rad eller kolonne er 0, er determinanten for matrisen 0.
- Denne metoden kan brukes for alle størrelser på kvadratiske matriser. For eksempel, hvis du bruker denne metoden for en matrise av rekkefølge 4x4, vil "streik" etterlate en matrise av rekkefølge 3x3 hvis determinant kan bestemmes ved å følge trinnene ovenfor. Husk at det kan være kjedelig å gjøre dette!
