Slik utledes implisitte funksjoner: 7 trinn (med bilder)

2024 Forfatter: Jason Gerald | [email protected]. Sist endret: 2024-01-19 22:13

I beregning, når du har en ligning for y skrevet i formen x (f.eks y = x² -3x), er det enkelt å bruke grunnleggende derivasjonsteknikker (referert av matematikere som implisitte funksjonderivatteknikker) for å finne derivatet. For ligninger som er vanskelige å konstruere med bare y -uttrykket på den ene siden av likhetstegnet (f.eks. X² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19), er det nødvendig med en annen tilnærming. Med en teknikk som kalles implisitte funksjonsderivater, er det lett å finne derivater av multi-variable ligninger så lenge du kjenner det grunnleggende i eksplisitte funksjonsderivater!

Steg

Metode 1 av 2: Avlede enkle ligninger raskt

Trinn 1. Avled x -begrepene som vanlig

Når du prøver å utlede en multi-variabel ligning som x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19, kan det være vanskelig å vite hvor du skal begynne. Heldigvis er det første trinnet i derivatet av en implisitt funksjon det enkleste. Bare avled x-begrepene og konstantene på begge sider av ligningen i henhold til reglene for vanlige (eksplisitte) derivater til å begynne med. Ignorer y-vilkårene foreløpig.

• La oss prøve å utlede et eksempel på den enkle ligningen ovenfor. x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19 har to termer x: x² og -5x. Hvis vi vil utlede en ligning, må vi gjøre dette først, slik:

  x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19

  (Få ned til effekten 2 i x² som koeffisient, fjern x i -5x, og endre 19 til 0)

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

Trinn 2. Avled y -termene og legg til (dy/dx) ved siden av hvert begrep

For ditt neste trinn, bare avled y -begrepene på samme måte som du avledet x -begrepene. Denne gangen legger du imidlertid til (dy/dx) ved siden av hvert begrep som du vil legge til koeffisienter. For eksempel, hvis du senker y², da blir derivatet 2y (dy/dx). Ignorer vilkårene som har x og y for tiden.

• I vårt eksempel ser ligningen vår nå slik ut: 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0. Vi utfører det neste trinnet med å utlede y som følger:

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

  (Få kraften til 2 i y² som koeffisienter, fjern y i 8y, og sett dy/dx ved siden av hvert ledd).

  2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy²= 0

Trinn 3. Bruk produktregelen eller kvoteringsregelen for termer som har x og y

Å jobbe med termer som har x og y er litt vanskelig, men hvis du kjenner reglene for produktet og kvoten for derivater, finner du det enkelt. Hvis vilkårene x og y multipliseres, bruker du produktregelen ((f × g) '= f' × g + g × f '), erstatter x -termen med f og y -termen med g. På den annen side, hvis vilkårene x og y er gjensidig utelukkende, bruker du kvoteringsregelen ((f/g) '= (g × f' - g '× f)/g²), ved å erstatte telleren med f og nevneren med g.

• I vårt eksempel 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy² = 0, har vi bare ett begrep som har x og y - 2xy². Siden x og y multipliseres med hverandre, bruker vi produktregelen for å utlede følgende:

  2xy² = (2x) (y²)- sett 2x = f og y² = g i (f × g) '= f' × g + g × f '

  (f × g) '= (2x)' × (y²) + (2x) × (y²)'

  (f × g) '= (2) × (y²) + (2x) × (2y (dy/dx))

  (f × g) '= 2 år² + 4xy (dy/dx)

• Når vi legger dette til vår hovedligning, får vi 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0

Trinn 4. Alene (dy/dx)

Du er nesten ferdig! Alt du trenger å gjøre er å løse ligningen (dy/dx). Dette virker vanskelig, men det er vanligvis ikke - husk at to termer a og b multipliseres med (dy/dx) kan skrives som (a + b) (dy/dx) på grunn av fordelingsegenskapen til multiplikasjon. Denne taktikken kan gjøre isolering (dy/dx) enklere - bare flytt alle de andre begrepene på den andre siden av parentesene, og del deretter med begrepene i parentesene ved siden av (dy/dx).

• I vårt eksempel forenkler vi 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0 som følger:

  2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) = -2y² - 2x + 5

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

Metode 2 av 2: Bruke avanserte teknikker

Trinn 1. Skriv inn verdien (x, y) for å finne (dy/dx) for et hvilket som helst punkt

Sikker! Du har allerede avledet ligningen din implisitt - ikke en lett jobb på første forsøk! Å bruke denne ligningen for å finne gradienten (dy/dx) for et hvilket som helst punkt (x, y) er like enkelt som å koble x- og y -verdiene for punktet ditt til høyre side av ligningen, og deretter finne (dy/dx).

• Anta for eksempel at vi vil finne gradienten på punktet (3, -4) for eksempeleksjonen ovenfor. For å gjøre det, erstatter vi 3 med x og -4 for y, og løser som følger:

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

  (dy/dx) = (-2 (-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

  (dy/dx) = (-2 (16)-6 + 5)/(2 (2 (3) (-4))

  (dy/dx) = (-32)-6 + 5)/(2 (2 (-12))

  (dy/dx) = (-33)/(2 (2 (-12))

  (dy/dx) = (-33)/(--48) = 3/48, eller 0, 6875.

Trinn 2. Bruk kjederegelen for funksjoner innenfor funksjoner

Kjederegelen er en viktig kunnskap du må ha når du arbeider med beregningsproblemer (inkludert implisitte funksjonsderiverte problemer). Kjederegelen sier at for en funksjon F (x) som kan skrives som (f o g) (x), derivatet av F (x) er lik f '(g (x)) g' (x). For vanskelige implisitte funksjonsderiverte problemer betyr dette at det er mulig å utlede de forskjellige individuelle delene av ligningen, og deretter kombinere resultatene.

• Som et enkelt eksempel, anta at vi må finne derivatet av synd (3x² + x) som en del av det større implisitte funksjonsderiverte problemet for ligningen sin (3x² + x) + y³ = 0. Hvis vi forestiller oss synd (3x² + x) som f (x) og 3x² + x som g (x), kan vi finne derivatet som følger:

  f '(g (x)) g' (x)

  (synd (3x² + x)) '× (3x² +x) '

  cos (3x² + x) × (6x + 1)

  (6x + 1) cos (3x² +x)

Trinn 3. For ligninger med variablene x, y og z, finn (dz/dx) og (dz/dy)

Selv om det er uvanlig i grunnleggende beregning, kan noen avanserte applikasjoner kreve avledning av implisitte funksjoner til mer enn to variabler. For hver tilleggsvariabel må du finne dens ekstra derivat med hensyn til x. For eksempel, hvis du har x, y og z, bør du søke etter både (dz/dy) og (dz/dx). Vi kan gjøre dette ved å utlede ligningen med hensyn til x to ganger - først skriver vi inn (dz/dx) hver gang vi utleder et begrep som inneholder z, og for det andre setter vi inn (dz/dy) hver gang vi utleder z. Etter dette er det bare å løse (dz/dx) og (dz/dy).

• La oss for eksempel si at vi prøver å utlede x³z² - 5xy⁵z = x² + y³.

• La oss først utlede mot x og angi (dz/dx). Ikke glem å bruke produktregelen om nødvendig!

  x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  3x²z² + 2x³z (dz/dx) - 5 år⁵z - 5xy⁵(dz/dx) = 2x

  3x²z² + (2x³z - 5xy⁵) (dz/dx) - 5 år⁵z = 2x

  (2x³z - 5xy⁵) (dz/dx) = 2x - 3x²z² + 5 år⁵z

  (dz/dx) = (2x - 3x²z² + 5 år⁵z)/(2x³z - 5xy⁵)

• Gjør det samme for (dz/dy)

  x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  2x³z (dz/dy) - 25xy⁴z - 5xy⁵(dz/dy) = 3y²

  (2x³z - 5xy⁵) (dz/dy) = 3y² + 25xy⁴z

  (dz/dy) = (3y² + 25xy⁴z)/(2x³z - 5xy⁵)