I derivatberegning er et bøyningspunkt punktet på en kurve der kurven endrer tegn (fra positivt til negativt eller fra negativt til positivt). Den brukes i en rekke emner, inkludert ingeniørfag, økonomi og statistikk, for å bestemme grunnleggende endringer i data. Hvis du trenger å finne bøyningspunktet for en kurve, går du til trinn 1.
Steg
Metode 1 av 3: Forstå infleksjonspoeng
Trinn 1. Forstå den konkave funksjonen
For å forstå bøyningspunktet må du skille mellom konkave og konvekse funksjoner. En konkav funksjon er en funksjon der linjen som forbinder to punkter på grafen aldri er over grafen.
Trinn 2. Forstå den konvekse funksjonen
En konveks funksjon er i utgangspunktet det motsatte av en konveks funksjon: det vil si en funksjon der linjen som forbinder to punkter på grafen aldri er under grafen.
Trinn 3. Forstå det grunnleggende i en funksjon
Grunnlaget for en funksjon er punktet der funksjonen er lik null.
Hvis du skal tegne en funksjon, er basene punktene der funksjonen skjærer x-aksen
Metode 2 av 3: Finne derivatet av en funksjon
Trinn 1. Finn det første derivatet av funksjonen din
Før du finner bøyningspunktet, må du finne derivatet av funksjonen din. Derivatet av grunnfunksjonen finnes i en hvilken som helst bok; Du må lære dem før du kan gå videre til mer kompliserte jobber. Det første derivatet er skrevet som f '(x). For et polynomuttrykk av formen axp + bx (p − 1) + cx + d, er det første derivatet apx (p − 1) + b (p 1) x (p − 2) + c.
-
For å illustrere, anta at du må finne bøyningspunktet til funksjonen f (x) = x3 +2x − 1. Beregn det første derivatet av funksjonen slik:
f (x) = (x3 + 2x 1) ′ = (x3) ′ + (2x) ′ (1) ′ = 3x2 + 2 + 0 = 3x2 + 2
Trinn 2. Finn det andre derivatet av funksjonen din
Det andre derivatet er det første derivatet av det første derivatet av funksjonen, skrevet som f (x).
-
I eksemplet ovenfor vil beregningen av det andre derivatet av funksjonen være slik:
f (x) = (3x2 + 2) ′ = 2 × 3 × x + 0 = 6x
Trinn 3. Gjør det andre derivatet lik null
Sett ditt andre derivat til lik null og løse ligningen. Svaret ditt er et mulig bøyningspunkt.
-
I eksemplet ovenfor ser beregningen din slik ut:
f (x) = 0
6x = 0
x = 0
Trinn 4. Finn det tredje derivatet av funksjonen din
For å se om svaret ditt virkelig er et bøyningspunkt, finn det tredje derivatet, som er det første derivatet av det andre derivatet av funksjonen, skrevet som f (x).
-
I eksemplet ovenfor ser beregningen din slik ut:
f (x) = (6x) ′ = 6
Metode 3 av 3: Finne infleksjonspunkter
Trinn 1. Sjekk det tredje derivatet ditt
Standardregelen for å kontrollere mulige bøyningspunkt er som følger: "Hvis det tredje derivatet ikke er null, f (x) =/ 0, er det mulige bøyningspunktet faktisk bøyningspunktet." Sjekk ditt tredje derivat. Hvis den ikke er lik null, er denne verdien det sanne bøyningspunktet.
I eksemplet ovenfor er ditt tredje derivat 6, ikke 0. Dermed er 6 det sanne bøyningspunktet
Trinn 2. Finn bøyningspunktet
Koordinatene til bøyningspunktet skrives som (x, f (x)), hvor x er verdien av variabelpunktet ved bøyningspunktet og f (x) er funksjonsverdien ved bøyningspunktet.
-
I eksemplet ovenfor, husk at når du beregner det andre derivatet, finner du at x = 0. Dermed må du finne f (0) for å bestemme koordinatene dine. Beregningen din vil se slik ut:
f (0) = 03 +2 × 0−1 = 1.
Trinn 3. Registrer koordinatene
Koordinatene til bøyningspunktet er din x-verdi og verdien du beregnet ovenfor.
