Et polynom inneholder en variabel (x) med en effekt, kjent som en grad, og flere termer og/eller konstanter. Å faktorisere et polynom betyr å bryte ligningen til enklere ligninger som kan multipliseres. Denne ferdigheten er i Algebra 1 og oppover, og kan være vanskelig å forstå hvis matteferdighetene dine ikke er på dette nivået.
Steg
Start
Trinn 1. Sett opp ligningen din
Standardformatet for en kvadratisk ligning er:
øks2 + bx + c = 0
Start med å bestille vilkårene i ligningen din fra høyeste til laveste effekt, akkurat som i dette standardformatet. For eksempel:
6 + 6x2 + 13x = 0
Vi vil omorganisere denne ligningen slik at det er lettere å jobbe med ved å flytte begrepene:
6x2 + 13x + 6 = 0
Trinn 2. Finn formfaktoren ved å bruke en av følgende metoder
Faktorisering av polynomet resulterer i to enklere ligninger som kan multipliseres for å produsere det opprinnelige polynomet:
6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
I dette eksemplet er (2x + 3) og (3x + 2) faktorene i den opprinnelige ligningen, 6x2 +13x+6.
Trinn 3. Sjekk arbeidet ditt
Multipliser faktorene du har. Deretter kombinerer du like vilkår og du er ferdig. Starte med:
(2x + 3) (3x + 2)
La oss prøve å multiplisere begrepene ved å bruke PLDT (først - utsiden - innsiden - sist), noe som resulterer i:
6x2 + 4x + 9x + 6
Herfra kan vi legge opp 4x og 9x fordi de er som termer. Vi vet at faktorene våre er riktige fordi vi får vår opprinnelige ligning:
6x2 + 13x + 6
Metode 1 av 6: Prøve og feil
Hvis du har et ganske enkelt polynom, kan du kanskje finne faktorene selv bare ved å se på dem. For eksempel, etter trening, kan mange matematikere finne ut at ligningen 4x2 + 4x + 1 har en faktor på (2x + 1) og (2x + 1) bare ved å se på det ofte. (Dette vil selvfølgelig ikke være lett for mer kompliserte polynomer). For dette eksemplet, la oss bruke en mindre ofte brukt ligning:
3x2 + 2x - 8
Trinn 1. Skriv en liste over faktorene term a og term c
Bruker øksligningsformatet2 + bx + c = 0, identifiser begrepene a og c og skriv ned faktorene som begge begrepene har. For 3x2 + 2x - 8, som betyr:
a = 3 og har et sett med faktorer: 1 * 3
c = -8 og har fire sett med faktorer: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 og -1 * 8.
Trinn 2. Skriv ned to sett med parenteser med tomme mellomrom
Du fyller ut feltene du har opprettet med konstanter for hver ligning:
(x) (x)
Trinn 3. Fyll ut feltene foran x med de mulige parene av faktorer for verdien av a
For begrepet a i vårt eksempel, 3x2, det er bare en mulighet for vårt eksempel:
(3x) (1x)
Trinn 4. Fyll ut de to emnene etter x med par med faktorer for konstanten
Anta at vi velger 8 og 1. Skriv i dem:
(3x
Trinn 8.)(
Trinn 1
Trinn 5. Bestem tegnet (pluss eller minus) mellom variabelen x og tallet
Avhengig av tegnene i den opprinnelige ligningen, kan det være mulig å søke etter tegn etter konstanter. Anta at vi kaller de to konstantene h og k for våre to faktorer:
Hvis øks2 + bx + c deretter (x + h) (x + k)
Hvis øks2 - bx - c eller øks2 + bx - c deretter (x - h) (x + k)
Hvis øks2 - bx + c deretter (x - h) (x - k)
For vårt eksempel, 3x2 + 2x - 8, tegnene er: (x - h) (x + k), noe som gir oss to faktorer:
(3x + 8) og (x - 1)
Trinn 6. Test valgene dine ved å bruke første-ut-i-siste multiplikasjon (PLDT)
Den første rasktesten er å se om mellomtiden har minst den riktige verdien. Hvis ikke, har du kanskje valgt feil c -faktorer. La oss teste svaret vårt:
(3x + 8) (x - 1)
Ved multiplikasjon får vi:
3x2 - 3x + 8x - 8
Forenkling av denne ligningen ved å legge til lignende termer (-3x) og (8x), får vi:
3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8
Nå vet vi at vi må ha brukt feil faktorer:
3x2 + 5x - 8 3x2 + 2x - 8
Trinn 7. Endre valget ditt om nødvendig
I vårt eksempel, la oss prøve 2 og 4 i stedet for 1 og 8:
(3x + 2) (x - 4)
Nå er c -termen -8, men vårt utvendige/innvendige produkt (3x * -4) og (2 * x) er -12x og 2x, som tilsammen ikke vil gi riktig b +2x -term.
-12x + 2x = 10x
10x 2x
Trinn 8. Omvendt rekkefølge hvis nødvendig
La oss prøve å bytte 2 og 4:
(3x + 4) (x - 2)
Nå er vårt c -uttrykk (4 * 2 = 8) riktig, men det ytre/indre produktet er -6x og 4x. Hvis vi kombinerer dem:
-6x + 4x = 2x
2x -2x Vi er ganske nær 2x vi leter etter, men tegnet er feil.
Trinn 9. Dobbeltsjekk taggene dine om nødvendig
Vi bruker samme rekkefølge, men bytter ut ligningene som har minustegnet:
(3x - 4) (x + 2)
Nå er begrepet c ikke noe problem, og det nåværende ytre/indre produktet er (6x) og (-4x). Fordi:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Nå kan vi bruke positive 2x fra det opprinnelige problemet. Dette må være de riktige faktorene.
Metode 2 av 6: Spaltning
Denne metoden vil identifisere alle mulige faktorer for begrepene a og c og bruke dem til å finne de riktige faktorene. Hvis tallene er for store eller gjetting virker tidkrevende, bruk denne metoden. La oss bruke et eksempel:
6x2 + 13x + 6
Trinn 1. Multipliser begrep a etter ledd c
I dette eksemplet er a 6 og c er også 6.
6 * 6 = 36
Trinn 2. Få begrepet b ved å faktorere og teste
Vi leter etter to tall som er faktorene for produktet a * c som vi har identifisert og også summerer til begrepet b (13).
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Trinn 3. Erstatt de to tallene du får i ligningen som et resultat av å legge til term b
La oss bruke k og h for å representere de to tallene vi har, 4 og 9:
øks2 + kx + hx + c
6x2 + 4x + 9x + 6
Trinn 4. Faktoriser polynomet ved å gruppere
Ordne ligningene slik at du kan ta den største fellesfaktoren for både første og andre ledd. Faktorgruppen må være den samme. Legg til den største fellesfaktoren og plasser den i parentes ved siden av faktorgruppen; resultatet er dine to faktorer:
6x2 + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)
Metode 3 av 6: Triple Play
I likhet med dekomponeringsmetoden undersøker triple play -metoden de mulige faktorene for å multiplisere begrepene a og c og bruke verdien av b. Prøv å bruke denne eksempelligningen:
8x2 + 10x + 2
Trinn 1. Multipliser begrep a etter ledd c
I likhet med analysemetoden vil dette hjelpe oss med å identifisere kandidater for termin b. I dette eksemplet er a 8 og c er 2.
8 * 2 = 16
Trinn 2. Finn to tall som, når de multipliseres med tall, produserer dette tallet med en sum som er lik termen b
Dette trinnet er det samme som å analysere - vi tester og kaster kandidater for konstanten. Produktet av begrepene a og c er 16, og begrepet c er 10:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Trinn 3. Ta disse to tallene og test dem ved å koble dem til trippelspillformelen
Ta våre to tall fra forrige trinn - la oss kalle dem h og k - og koble dem til ligningen:
((ax + h) (ax + k))/ a
Vi vil få:
((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Trinn 4. Legg merke til om noen av de to begrepene i telleren er delelig med a
I dette eksemplet så vi om (8x + 8) eller (8x + 2) er delelig med 8. (8x + 8) er delelig med 8, så vi deler dette begrepet med a og lar de andre faktorene være i fred.
(8x + 8) = 8 (x + 1)
Begrepet i parentes her er det som er igjen etter at vi deler med begrepet a.
Trinn 5. Ta den største fellesfaktoren (GCF) av en eller begge termer, hvis noen
I dette eksemplet har det andre uttrykket en GCF på 2, fordi 8x + 2 = 2 (4x + 1). Kombiner dette resultatet med begrepet du fikk fra forrige trinn. Dette er faktorene i ligningen din.
2 (x + 1) (4x + 1)
Metode 4 av 6: Forskjell på kvadratrøtter
Noen koeffisienter i polynomer kan være "firkanter", eller produktet av to tall. Ved å identifisere disse rutene kan du faktorisere flere polynomer raskere. Prøv denne ligningen:
27x2 - 12 = 0
Trinn 1. Ta ut den største fellesfaktoren hvis mulig
I dette tilfellet kan vi se at 27 og 12 er delbare med 3, så vi får:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4)
Trinn 2. Identifiser om koeffisientene i ligningen din er kvadratiske tall
For å bruke denne metoden må du kunne ta kvadratroten til begge begrepene. (Vær oppmerksom på at vi vil ignorere det negative tegnet - fordi disse tallene er firkanter, kan de være et produkt av to positive eller negative tall)
9x2 = 3x * 3x og 4 = 2 * 2
Trinn 3. Bruk kvadratroten du fikk til å skrive ned faktorene
Vi tar verdiene til a og c fra trinnet vårt ovenfor - a = 9 og c = 4, og finner deretter kvadratroten - a = 3 og c = 2. Resultatet er koeffisienten for faktorligningen:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Metode 5 av 6: Kvadratisk formel
Hvis alt annet mislykkes og ligningen ikke kan regnes som hel, bruker du den kvadratiske formelen. Prøv dette eksemplet:
x2 + 4x + 1 = 0
Trinn 1. Skriv inn de nødvendige verdiene i kvadratisk formel:
x = -b ± (b2 - 4ac)
2a
Vi får ligningen:
x = -4 ± (42 - 4•1•1) / 2
Trinn 2. Finn verdien av x
Du får to verdier. Som vist ovenfor får vi to svar:
x = -2 + (3) eller x = -2 -(3)
Trinn 3. Bruk x-verdien til å finne faktorene
Koble x -verdiene du har til de to polynomligningene som konstanter. Resultatet er faktorene dine. Hvis vi kaller svarene våre h og k, skriver vi ned de to faktorene som følger:
(x - h) (x - k)
I dette eksemplet er vårt endelige svar:
(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))
Metode 6 av 6: Bruke kalkulatoren
Hvis du har lov til å bruke en kalkulator, gjør en grafkalkulator faktureringsprosessen mye enklere, spesielt for standardiserte tester. Disse instruksjonene er for TI -grafkalkulatoren. Vi bruker en eksempelligning:
y = x2 x 2
Trinn 1. Skriv inn ligningen din i kalkulatoren
Du vil bruke factoring av ligningen, som er skrevet [Y =] på skjermen.
Trinn 2. Grafer ligningen din ved hjelp av kalkulatoren
Når du har angitt ligningen din, trykker du på [GRAPH] - du vil se en glatt kurve som representerer ligningen din (og formen er en kurve fordi vi bruker polynom).
Trinn 3. Finn stedet der kurven krysser x-aksen
Siden polynomligninger vanligvis skrives som øks2 + bx + c = 0, dette krysset er den andre verdien av x som får ligningen til å være null:
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
Hvis du ikke kan identifisere hvor grafen krysser x-aksen ved å se på den, trykker du på [2.] og deretter [TRACE]. Trykk på [2] eller velg null. Flytt markøren til venstre for krysset, og trykk på [ENTER]. Flytt markøren til høyre for krysset, og trykk på [ENTER]. Flytt markøren så nær krysset som mulig, og trykk på [ENTER]. Kalkulatoren finner verdien av x. Gjør dette også for de andre kryssene
Trinn 4. Plugg x -verdien som ble oppnådd fra forrige trinn i tofaktorligningen
Hvis vi navngir begge våre x -verdier h og k, vil ligningene vi bruker være:
(x - h) (x - k) = 0
Således er våre to faktorer:
(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)
Tips
- Hvis du har en TI-84 kalkulator (graf), er det et program som heter SOLVER som vil løse dine kvadratiske ligninger. Dette programmet vil løse polynomer av hvilken som helst grad.
- Hvis et begrep ikke skrives, er koeffisienten 0. Det er nyttig å skrive om ligningen hvis dette er tilfelle, for eksempel: x2 + 6 = x2 +0x+6.
- Hvis du fakturerte polynomet ditt med en kvadratisk formel og fikk svaret når det gjelder røtter, vil du kanskje konvertere verdien av x til en brøkdel for å kontrollere.
- Hvis et begrep ikke har noen skriftlig koeffisient, er koeffisienten 1, for eksempel: x2 = 1x2.
- Etter nok trening vil du til slutt kunne faktorere polynomer i hodet ditt. Inntil du kan gjøre det, må du alltid skrive ned veiledningen.
