En vektor er en fysisk størrelse som har både størrelse og retning (f.eks. Hastighet, akselerasjon og forskyvning), i motsetning til en skalar som bare består av størrelse (f.eks. Hastighet, avstand eller energi). Hvis skalarer kan legges til ved å legge til størrelser (f.eks. 5 kJ arbeid pluss 6 kJ arbeid tilsvarer 11 kJ arbeid), er vektorer litt vanskelig å legge til eller trekke fra. Se trinn 1 nedenfor for å lære noen måter å legge til eller trekke fra vektorer.
Steg
Metode 1 av 3: Addere og trekke fra vektorer hvis komponenter er kjent
Trinn 1. Skriv ned dimensjonskomponentene til vektoren i vektornotasjon
Siden vektorer har størrelse og retning, kan de vanligvis brytes ned i deler basert på x-, y- og/eller z -dimensjonene. Disse dimensjonene er vanligvis skrevet i en lignende notasjon for å beskrive et punkt i et koordinatsystem (f.eks. Og andre). Hvis du kjenner denne delen, er det veldig enkelt å legge til eller trekke fra vektorer, bare legg til eller trekk fra x-, y- og z -koordinatene.
- Legg merke til om dimensjonene til vektoren er 1, 2 eller 3. Dermed kan vektoren ha komponentene x, x og y, eller x, y og z. Følgende eksempel bruker en tredimensjonal vektor, men prosessen er som en 1- eller 2-dimensjonal vektor.
- Anta at vi har to tredimensjonale vektorer, vektor A og vektor B. Vi kan skrive disse vektorene ved hjelp av vektornotasjon som A = og B =, hvor a1 og a2 er x-komponenter, b1 og b2 er y-komponenter, og c1 og c2 er komponenter z.
Trinn 2. For å legge til de to vektorene, legg til komponentene
Hvis de to komponentene i en vektor er kjent, kan du legge til vektorene ved å legge til komponentene i hver. Med andre ord, legg x-komponenten til den første vektoren til x-komponenten i den andre vektoren, og gjør det samme for y og z. Svaret du får fra å legge opp x-, y- og z -komponentene i disse vektorene er x-, y- og z -komponentene i den nye vektoren.
- Generelt, A+B =.
- La oss legge til to vektorer A og B. A = og B =. A + B =, eller.
Trinn 3. For å trekke fra begge vektorene, trekk fra komponentene
Som vi skal diskutere senere, kan man trekke fra en vektor fra en annen som å legge til sine gjensidige vektorer. Hvis komponentene i begge vektorene er kjent, er det mulig å trekke en vektor fra en annen ved å trekke den første komponenten fra den andre komponenten (eller ved å legge til de negative komponentene i begge).
- Generelt, A-B =
- La oss trekke fra to vektorer A og B. A = og B =. A - B =, eller.
Metode 2 av 3: Legge til og trekke fra med bilder ved hjelp av Head and Tail Method
Trinn 1. Symboliser vektoren ved å tegne den med hodet og halen
Siden vektorer har både størrelse og retning, kan vi si at de har en hale og et hode. Med andre ord har en vektor et utgangspunkt og et sluttpunkt som angir retningen til vektoren hvis avstand fra startpunktet er lik størrelsen på vektoren. Når den tegnes, tar vektoren form av en pil. Spissen av pilen er hodet til vektoren og enden av vektorlinjen er halen.
Hvis du lager en vektortegning med dimensjoner, må du måle og tegne alle hjørnene nøyaktig. Feil vinkel på bildet vil påvirke det resulterende resultatet når to vektorer legges til eller trekkes fra ved hjelp av denne metoden
Trinn 2. For å legge til, tegne eller flytte den andre vektoren slik at halen møter hodet på den første vektoren
Dette kalles å kombinere hode til hale vektorer. Hvis du bare legger til to vektorer, er det du trenger å gjøre før du finner den resulterende vektoren.
Vær oppmerksom på at rekkefølgen du legger til vektorer ikke spiller noen rolle, forutsatt at du bruker det samme utgangspunktet. Vector A + Vector B = Vector B + Veltor A
Trinn 3. For å trekke fra, legg til et negativt tegn på vektoren
Å redusere vektorer ved å bruke bilder er veldig enkelt. Snu vektorretningen, men hold størrelsen den samme og legg til vektorhodet og halen som vanlig. Med andre ord, for å trekke fra en vektor, roter du vektoren 180o og legg til.
Trinn 4. Hvis du legger til eller trekker fra mer enn to vektorer, må du kombinere alle vektorene i en rekkefølge fra topp til hale
Rekkefølgen for sammenslåing spiller ingen rolle. Denne metoden kan brukes uavhengig av antall vektorer.
Trinn 5. Tegn en ny vektor fra halen til den første vektoren til hodet på den siste vektoren
Enten du legger til/subtraherer to vektorer eller hundre, er vektoren som strekker seg fra det opprinnelige startpunktet (halen til den første vektoren) til sluttpunktet for den siste vektoren (hodet til din siste vektor) den resulterende vektoren eller summen av alle vektorene dine. Vær oppmerksom på at denne vektoren er nøyaktig den samme som vektoren oppnådd ved å legge opp alle x-, y- og/eller z -komponentene.
- Hvis du tegner alle vektorene dine i størrelse, ved å måle alle vinklene riktig, kan du bestemme størrelsen på den resulterende vektoren ved å måle lengden. Du kan også måle vinkelen mellom den resulterende og en hvilken som helst vektor horisontalt eller vertikalt for å bestemme retningen.
- Hvis du ikke tegner alle vektorene dine i størrelse, må du kanskje beregne størrelsen på den resulterende ved hjelp av trigonometri. Kanskje Sine og Cosinus -reglene vil hjelpe. Hvis du legger til mer enn to vektorer, er det nyttig å legge den første vektoren til den andre, deretter legge den resulterende av den andre til den tredje, og så videre. Se de følgende avsnittene for mer informasjon.
Trinn 6. Tegn den resulterende vektoren ved hjelp av størrelsen og retningen
En vektor er definert av lengden og retningen. Som ovenfor, forutsatt at du tegnet vektoren din nøyaktig, er størrelsen på den nye vektoren dens lengde og retningen er vinkelen i forhold til den vertikale eller horisontale retningen. Bruk enhetsvektorene du legger til eller trekker fra for å bestemme enhetene for størrelsen på den resulterende vektoren.
For eksempel, hvis de tilførte vektorene representerer hastighet i ms-1, kan den resulterende vektoren defineres som "hastighet x ms-1 mot y o til horisontal retning.
Metode 3 av 3: Legge til og trekke fra vektorer ved å spesifisere vektordimensjonale komponenter
Trinn 1. Bruk trigonometri til å bestemme komponentene i en vektor
For å finne komponentene i en vektor må du vanligvis kjenne størrelsen og retningen i forhold til horisontal eller vertikal retning og forstå trigonometri. Forutsatt en todimensjonal vektor, tenk først på vektoren din som hypotenusen til en høyre trekant hvis to sider er parallelle med x- og y-retningene. Disse to sidene kan betraktes som komponenter i en hode-til-hale-vektor som legger sammen for å danne vektoren din.
- Lengden på begge sider er lik x- og y -komponentene i vektoren din og kan beregnes ved hjelp av trigonometri. Hvis x er en vektorstørrelse, er siden ved siden av vektorvinkelen (i forhold til horisontal, vertikal og andre retninger) xcos (θ), mens motsatt side er xsin (θ).
- Det er også veldig viktig å merke seg retningen til komponentene dine. Hvis komponenten peker på en negativ koordinat, får den et negativt tegn. For eksempel, i et todimensjonalt plan, hvis en komponent peker mot venstre eller ned, er den negativ.
- La oss for eksempel si at vi har en vektor med størrelse 3 og retning 135o i forhold til horisontalen. Med denne informasjonen kan vi bestemme at x -komponenten er 3cos (135) = - 2, 12 og y -komponenten er 3sin (135) = 2, 12
Trinn 2. Legg til eller trekk fra to eller flere relaterte vektorer
Når du har funnet komponentene i alle vektorene dine, legger du dem til for å finne komponentene i den resulterende vektoren. Legg først sammen alle størrelsene til de horisontale komponentene (som er parallelle med x-retningen). Legg sammen alle størrelsene til de vertikale komponentene separat (som er parallelle med y-retningen). Hvis en komponent er negativ (-), blir størrelsen trukket fra, ikke lagt til. Svaret du får er komponenten i den resulterende vektoren.
For eksempel legges vektoren fra forrige trinn,, til vektoren. I dette tilfellet blir den resulterende vektoren eller
Trinn 3. Beregn størrelsen på den resulterende vektoren ved hjelp av Pythagoras teorem
Pythagoras sats c2= a2+b2, brukes til å finne lengden på siden av en høyre trekant. Siden trekanten dannet av vår resulterende vektor og dens komponenter er en rett trekant, kan vi bruke den til å finne vektorens lengde og størrelse. Med c som størrelsen på den resulterende vektoren, som du leter etter, anta at a er størrelsen på x -komponenten og b er størrelsen på y -komponenten. Løs med algebra.
-
For å finne størrelsen på vektoren hvis komponenter vi har lett etter i forrige trinn, bruker du Pythagoras teorem. Løs som følger:
- c2=(3, 66)2+(-6, 88)2
- c2=13, 40+47, 33
- c = √60, 73 = 7, 79
Trinn 4. Beregn den resulterende retningen ved hjelp av Tangent -funksjonen
Til slutt finner du den resulterende vektoren i retningen. Bruk formelen = tan-1(b/a), hvor er størrelsen på vinkelen dannet i x eller horisontal retning, b er størrelsen på y -komponenten, og a er størrelsen på x -komponenten.
-
For å finne retningen til vektoren vår, bruk = tan-1(b/a).
- = brunfarge-1(-6, 88/3, 66)
- = brunfarge-1(-1, 88)
- = -61, 99o
Trinn 5. Tegn den resulterende vektoren i henhold til størrelsen og retningen
Som skrevet ovenfor er vektorer definert av størrelsen og retningen. Sørg for å bruke de riktige enhetene for vektorstørrelsen din.
For eksempel, hvis vårt vektoreksempel representerer en kraft (i Newton), kan vi skrive den "tvinge 7,79 N med -61,99 o til horisontal ".
Tips
- Vektoren er forskjellig fra stor.
- Vektorer med samme retning kan legges til eller trekkes fra ved å legge til eller subtrahere størrelsen. Hvis du oppsummere to vektorer som er motsatt, størrelsen blir trukket fra, ikke lagt til.
- Vektorer representert i formen x i + y j + z k kan legges til eller subtraheres ved å legge til eller subtrahere koeffisientene til de tre enhetsvektorene. Svaret er også i form av i, j og k.
- Du kan finne størrelsen på en tredimensjonal vektor ved å bruke formelen a2= b2+c2+d2 hvor a er størrelsen på vektoren, og b, c og d er komponentene i hver retning.
- Kolonnevektorer kan legges til og trekkes fra ved å legge til eller trekke fra verdiene for hver rad.
