Hvordan tegne en firkantet graf: 10 trinn (med bilder)

2024 Forfatter: Jason Gerald | [email protected]. Sist endret: 2024-02-01 14:14

Når den er representert grafisk, har den kvadratiske ligningen formen øks² + bx + c eller a (x - h)² + k danner bokstaven U eller en omvendt U -kurve kalt en parabel. Å tegne en kvadratisk ligning ser etter toppunktet, retningen og ofte krysset x og y. I tilfeller av ganske enkle kvadratiske ligninger kan det være tilstrekkelig å angi et sett med x -verdier og plotte kurven basert på de resulterende punktene. Se trinn 1 nedenfor for å komme i gang.

Steg

Trinn 1. Bestem formen på den kvadratiske ligningen du har

Kvadratiske ligninger kan skrives i tre forskjellige former: generell form, toppunktform og kvadratisk form. Du kan bruke hvilken som helst form for å tegne en kvadratisk ligning; prosessen med å skildre hver graf er litt annerledes. Hvis du gjør lekser, vil du vanligvis motta spørsmål i en av disse to formene - med andre ord vil du ikke kunne velge, så det er best å forstå begge deler. De to formene for den kvadratiske ligningen er:

• Generell form.

  I denne formen skrives den kvadratiske ligningen som: f (x) = ax² + bx + c hvor a, b og c er reelle tall og a ikke er null.

  For eksempel er to kvadratiske ligninger av generell form f (x) = x² + 2x + 1 og f (x) = 9x² + 10x -8.

• Toppform.

  I denne formen skrives den kvadratiske ligningen som: f (x) = a (x - h)² + k hvor a, h og k er reelle tall og a ikke er null. Det kalles toppunktformen fordi h og k umiddelbart vil gi toppunktet (midtpunktet) til parabolen din ved punktet (h, k).

  De to toppunktformlikningene er f (x) = 9 (x - 4)² + 18 og -3 (x - 5)² + 1

• For å tegne en form for ligning må vi først finne toppunktet til parabolen, som er midtpunktet (h, k) på slutten av kurven. Koordinatene til toppene i den generelle formen beregnes som: h = -b/2a og k = f (h), mens i toppformen er h og k i ligningen.

Trinn 2. Definer variablene dine

For å løse et kvadratisk problem må variablene a, b og c (eller a, h og k) vanligvis defineres. Et vanlig algebra -problem vil gi en kvadratisk ligning med de tilgjengelige variablene, vanligvis i generell form, men noen ganger i toppform.

• For eksempel, for en ligning med generell form f (x) = 2x² + 16x + 39, vi har a = 2, b = 16 og c = 39.
• For toppformlikningen f (x) = 4 (x - 5)² + 12, vi har a = 4, h = 5 og k = 12.

Trinn 3. Beregn h

I toppunktformlikningen er h -verdien din allerede gitt, men i den generelle formlikningen må h -verdien beregnes. Husk at for ligninger av generell form, h = -b/2a.

• I vårt generelle formeksempel (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Etter å ha løst, finner vi at h = - 4.
• I vårt toppunktformeksempel (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), vet vi at h = 5 uten å gjøre noen matte.

Trinn 4. Beregn k

Som h, er k allerede kjent i ligningen av toppformen. For likninger av generell form, husk at k = f (h). Med andre ord kan du finne k ved å erstatte alle x -verdiene i ligningen din med h -verdiene du nettopp fant.

• Vi har allerede i vårt generelle formeksempel bestemt at h = -4. For å finne k, løser vi ligningen vår ved å koble til verdien av h i stedet for x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Trinn 7.

• I vårt toppformeksempel vet vi igjen verdien av k (som er 12) uten å måtte gjøre noen matematikk.

Trinn 5. Tegn toppen

Spissen på parabelen din er punktet (h, k)-h representerer x-koordinaten, mens k representerer y-koordinaten. Toppunktet er midtpunktet på parabolen din - enten på bunnen av U eller på toppen av det omvendte U. Å kjenne hjørnene er en viktig del av å tegne en presis parabel - ofte, i skolearbeid, er det å bestemme toppunktet den delen man skal se etter i et spørsmål.

• I vårt generelle formeksempel er toppen vår (-4, 7). Dermed vil vår parabel kulminere 4 trinn til venstre fra 0 og 7 trinn ovenfor (0, 0). Vi må skildre dette punktet i grafen vår, og sørg for å merke koordinatene.
• I vårt eksempel på toppunktet er toppunktet vårt (5, 12). Vi må tegne et punkt 5 trinn til høyre og 12 trinn ovenfor (0, 0).

Trinn 6. Tegn parabolens akse (valgfritt)

Symmetriaksen til en parabel er en linje som passerer gjennom midten og deler den nøyaktig i midten. På denne aksen vil venstre side av parabolen reflektere høyre side. For kvadratiske ligninger i formen ax² + bx + c eller a (x - h)² + k, symmetriaksen er linjen som er parallell med y-aksen (med andre ord nøyaktig vertikal) og går gjennom toppunktet.

Når det gjelder vårt generelle formeksempel, er aksen linjen parallell med y-aksen og går gjennom punktet (-4, 7). Selv om det ikke er en del av parabolen, vil en tynn markering av denne linjen på grafen til slutt hjelpe deg med å se den symmetriske formen på parabolens kurve

Trinn 7. Finn retningen for åpningen av parabolen

Etter å ha kjent parabolens topp og akse, må vi deretter vite om parabolen åpner seg opp eller ned. Heldigvis er dette enkelt. Hvis verdien av a er positiv, åpnes parabolen oppover, mens hvis verdien av a er negativ, åpnes parabolen nedover (dvs. at parabolen blir invertert).

• For vårt generelle formeksempel (f (x) = 2x² + 16x + 39), vet vi at vi har en parabel som åpner seg fordi, i vår ligning, a = 2 (positiv).
• For vårt toppunktformeksempel (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), vet vi at vi også har en parabel som åpner seg fordi a = 4 (positiv).

Trinn 8. Finn og tegn x-avskjæringen om nødvendig

Ofte, i skolearbeid, vil du bli bedt om å finne x-skjæringspunktet i parabolen (som er ett eller to punkter der parabolen møter x-aksen). Selv om du ikke finner en, er disse to punktene svært viktige for å tegne en presis parabel. Imidlertid har ikke alle parabolene en x-avskjæring. Hvis parabolen din har et toppunkt som åpner seg og toppunktet er over x-aksen, eller hvis det åpner nedover og toppunktet er under x-aksen, parabolen vil ikke ha noen x-avskjæring. Ellers løser du x-avskjæringen på en av følgende måter:

• Bare lag f (x) = 0 og løs ligningen. Denne metoden kan brukes for enkle kvadratiske ligninger, spesielt i toppform, men vil være svært vanskelig for komplekse ligninger. Se et eksempel nedenfor

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Rot (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 og 13 er x-skjæringspunktet i parabolen.

• Faktor ligningen din. Noen ligninger i formen øks² + bx + c kan enkelt regnes inn i skjemaet (dx + e) (fx + g), hvor dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx, og e × g = c. I dette tilfellet er dine x-avskjæringer x-verdier som vil gjøre et vilkår i parentes = 0. For eksempel:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • I dette tilfellet er din eneste x -skjæringspunkt -1 fordi å gjøre x lik -1 vil gjøre en hvilken som helst faktorbetegnelse i parentes lik 0.

• Bruk den kvadratiske formelen. Hvis du ikke lett kan løse x-skjæringspunktet eller faktorisere ligningen din, kan du bruke en spesiell ligning kalt en kvadratisk formel som ble opprettet for dette formålet. Hvis det ikke er løst ennå, konverter ligningen til formøksen² + bx + c, skriv deretter inn a, b og c i formelen x = (-b +/- sqrt (b)² - 4ac))/2a. Vær oppmerksom på at denne metoden ofte gir deg to svar for verdien av x, som er OK-det betyr bare at parabolen din har to x-avskjæringer. Se et eksempel nedenfor:

  • -5x² + 1x + 10 settes inn i den kvadratiske formelen slik:
  • x = (-1 +/- Rot (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- Rot (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- Rot (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14, 18)/-10
  • x = (13, 18/-10) og (-15, 18/-10). X-skjæringspunktet i parabolen er x = - 1, 318 og 1, 518
  • Vårt tidligere eksempel på den generelle formen, 2x² +16x+39 settes inn i den kvadratiske formelen som følger:
  • x = (-16 +/- Rot (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- rot (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- Rot (-56)/-10
  • Siden det er umulig å finne kvadratroten til et negativt tall, vet vi at denne parabolen har ingen x-avskjæring.

Trinn 9. Finn og tegn y-skjæringspunktet om nødvendig

Selv om det ofte ikke er nødvendig å lete etter y-skjæringspunktet i ligninger (punktet der parabolen passerer gjennom y-aksen), må du til slutt finne det, spesielt hvis du er på skolen. Prosessen er ganske enkel-bare lag x = 0, deretter løser du ligningen for f (x) eller y, som gir verdien av y der parabolen din passerer gjennom y-aksen. I motsetning til x-avskjæringen kan en vanlig parabel bare ha en y-avskjæring. Merk-for ligninger av generell form er y-skjæringspunktet y = c.

• For eksempel vet vi at vår kvadratiske ligning er 2x² + 16x + 39 har et y-skjæringspunkt ved y = 39, men det kan også bli funnet på følgende måte:

  • f (x) = 2x² +16x+39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. y-skjæringspunktet til parabolen er på y = 39.

    Som nevnt ovenfor er y-skjæringspunktet y = c.

• Formen på toppunktsligningen vår er 4 (x - 5)² + 12 har et y-skjæringspunkt som kan bli funnet på følgende måte:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Parabolens y-skjæringspunkt er på y = 112.

Trinn 10. Tegn om nødvendig ytterligere punkter, og tegn deretter en graf

Nå har du toppunktet, retningen, x-avskjæringen og muligens y-avskjæringen i ligningen din. På dette stadiet kan du prøve å tegne parabolen din ved å bruke punktene du har som veiledning, eller se etter andre punkter for å fylle ut parabolen slik at kurven du tegner blir mer presis. Den enkleste måten å gjøre dette på er å bare skrive inn noen x-verdier på hvilken som helst side av toppunktet, og deretter plotte disse punktene ved å bruke y-verdiene du får. Lærere ber deg ofte om å se etter flere punkter før du tegner parabolen din.

• La oss se på ligningen x² + 2x + 1. Vi vet allerede at x -avskjæringen bare er x = -1. Siden kurven bare berører x-skjæringspunktet på et punkt, kan vi konkludere med at toppunktet er dets x-skjæringspunkt, noe som betyr at toppunktet er (-1, 0). Vi har faktisk bare ett poeng for denne parabolen - ikke nok til å tegne en god parabel. La oss se etter noen andre punkter for å sikre at vi tegner en grundig graf.

  • La oss finne y -verdiene for følgende x -verdier: 0, 1, -2 og -3.
  • For 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Poenget vårt er (0, 1).

  • For 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Poenget vårt er (1, 4).

  • For -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Poenget vårt er (-2, 1).

  • For -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Poenget vårt er (-3, 4).

  • Tegn disse punktene på grafen og tegn din U-formede kurve. Vær oppmerksom på at parabolen er perfekt symmetrisk - når punktene på den ene siden av parabolen er heltall, kan du vanligvis redusere arbeidet med å bare reflektere et gitt punkt på parabelens symmetriakse for å finne det samme punktet på den andre siden av parabelen.

Tips

• Rund tall eller bruk brøk i henhold til algebra -lærerens forespørsel. Dette vil hjelpe deg med å bedre tegne den kvadratiske ligningen.
• Vær oppmerksom på at i f (x) = ax² + bx + c, hvis b eller c er lik null, forsvinner disse tallene. For eksempel 12x² + 0x + 6 blir 12x² + 6 fordi 0x er 0.