Å fullføre firkanter er en nyttig teknikk for å hjelpe deg med å sette kvadratiske ligninger i en fin form, noe som gjør dem enkle å se eller til og med løse. Du kan fullføre firkanter for å bygge mer komplekse kvadratiske formler eller til og med løse kvadratiske ligninger. Hvis du vil vite hvordan du gjør det, følger du disse trinnene.
Steg
Del 1 av 2: Konvertering av vanlige ligninger til kvadratiske funksjoner
Trinn 1. Skriv ned ligningen
Anta at du vil løse følgende ligning: 3x2 - 4x + 5.
Trinn 2. Ta ut koeffisientene til de kvadratiske variablene fra de to første delene
For å få nummer 3 ut av de to første delene, bare ta tallet 3 ut og sett det utenfor parentesene, del hver del med 3. 3x2 delt på 3 er x2 og 4x dividert med 3 er 4/3x. Så den nye ligningen blir: 3 (x2 - 4/3x) + 5. Tallet 5 forblir utenfor ligningen fordi det ikke er delt med tallet 3.
Trinn 3. Del den andre delen med 2 og firkant den
Den andre delen eller det som er kjent som b i ligningen er 4/3. Del på to. 4/3 2, eller 4/3 x 1/2, tilsvarer 2/3. Kvadrer denne delen ved å kvadrere brøkens teller og nevner. (2/3)2 = 4/9. Skriv det ned.
Trinn 4. Legg til og trekk disse delene fra ligningen
Du trenger denne ekstra delen for å få ligningen tilbake til et perfekt torg. Du må imidlertid trekke dem fra resten av ligningen for å legge dem sammen. Selv om det ser ut som om du går tilbake til den opprinnelige ligningen. Ligningen din ser slik ut: 3 (x2 - 4/3 x + 4/9 - 4/9) + 5.
Trinn 5. Fjern delen du har trukket fra parentesene
Siden du har en koeffisient på 3 utenfor parentesene, kan du ikke bare gi -4/9. Du må multiplisere det med 3 først. -4/9 x 3 = -12/9, eller -4/3. Hvis du har en koeffisient på 1 i x. -Delen2, så kan du hoppe over dette trinnet.
Trinn 6. Endre delen i parentesene til en perfekt firkant
Nå er det 3 (x2 -4/3x +4/9) i parentes. Du har allerede prøvd å få 4/9, som faktisk er en annen måte å fullføre torget på. Så du kan skrive det om som: 3 (x - 2/3)2. Alt du trenger å gjøre er å dele den andre omgangen og eliminere den tredje. Du kan kontrollere arbeidet ditt ved å multiplisere det og komme opp med de tre første delene av ligningen.
-
3 (x - 2/3)2 =
Fullfør Square Step 6Bullet 1 - 3 (x - 2/3) (x -2/3) =
- 3 [(x2 -2/3x -2/3x + 4/9)]
- 3 (x2 - 4/3x + 4/9)
Trinn 7. Kombiner konstantene
Nå er det to konstanter eller tall som ikke har noen variabler. Nå har du 3 (x - 2/3)2 - 4/3 + 5. Alt du trenger å gjøre er å legge opp -4/3 og 5 for å få 11/3. Du legger dem til ved å likestille nevnerne: -4/3 og 15/3, og deretter legge opp tallene slik at du får 11 og forlater nevneren 3.
-
-4/3 + 15/3 = 11/3.
Fullfør Square Step 7 Bullet 1
Trinn 8. Skriv ligningen i kvadratisk form
Du har gjort. Den siste ligningen er 3 (x - 2/3)2 +11/3. Du kan eliminere koeffisienten 3 ved å dele begge sider av ligningen for å få (x - 2/3)2 +11/9. Du har vellykket skrevet ligningen til kvadratisk form, nemlig a (x - h)2 +k, hvor k representerer en konstant.
Del 2 av 2: Løse kvadratiske ligninger
Trinn 1. Skriv ned spørsmålene
Anta at du vil løse følgende ligning: 3x2 + 4x + 5 = 6
Trinn 2. Kombiner de eksisterende konstantene og plasser dem på venstre side av ligningen
En konstant er et tall som ikke har en variabel. I dette problemet er konstanten 5 til venstre og 6 til høyre. Hvis du vil flytte 6 til venstre, må du trekke begge sider av ligningen med 6. Resten er 0 på høyre side (6-6) og -1 på venstre side (5-6). Ligningen blir: 3x2 + 4x - 1 = 0.
Trinn 3. Skriv ut koeffisienten for den kvadratiske variabelen
I dette problemet er 3 koeffisienten til x2. For å få tallet 3, ta bare ut tallet 3, og del hver del med 3. Så, 3x2 3 = x2, 4x 3 = 4/3x og 1 3 = 1/3. Ligningen blir: 3 (x2 + 4/3x - 1/3) = 0.
Trinn 4. Del med konstanten du nettopp hentet ut
Dette betyr at du kan fjerne koeffisienten 3. Siden du allerede har delt hver del med 3, kan du fjerne tallet 3 uten å påvirke ligningen. Ligningen din blir x2 + 4/3x - 1/3 = 0
Trinn 5. Del den andre delen med 2 og firkant den
Ta deretter den andre delen, 4/3 eller del b, og del den med 2. 4/3 2 eller 4/3 x 1/2, lik 4/6 eller 2/3. Og 2/3 kvadrat til 4/9. Når du har kvadrert det, må du skrive det på venstre og høyre side av ligningen fordi du legger til en ny del. Du må skrive det på begge sider for å balansere det. Ligningen blir x2 + 4/3 x + 2/32 - 1/3 = 2/32
Trinn 6. Flytt startkonstanten til høyre side av ligningen og legg den til kvadratet med tallet ditt
Flytt startkonstanten, -1/3, til høyre, slik at den blir 1/3. Legg til kvadratet med tallet ditt, 4/9 eller 2/32. Finn en fellesnevner for å legge til 1/3 og 4/9 ved å multiplisere øvre og nedre brøk på 1/3 med 3. 1/3 x 3/3 = 3/9. Legg nå til 3/9 og 4/9 for å få 7/9 på høyre side av ligningen. Ligningen blir: x2 + 4/3 x + 2/32 = 4/9 + 1/3 deretter x2 + 4/3 x + 2/32 = 7/9.
Trinn 7. Skriv ned venstre side av ligningen som en perfekt firkant
Siden du allerede har brukt formelen for å finne det manglende stykket, har den harde delen blitt hoppet over. Alt du trenger å gjøre er å sette x og halve verdien av den andre koeffisienten i parentes og kvadrere den, for eksempel: (x + 2/3)2. Vær oppmerksom på at fakturering av en perfekt firkant vil gi tre deler: x2 + 4/3 x + 4/9. Ligningen blir: (x + 2/3)2 = 7/9.
Trinn 8. Kvadratrot på begge sider
På venstre side av ligningen er kvadratroten til (x + 2/3)2 er x + 2/3. På høyre side av ligningen får du +/- (√7)/3. Kvadratroten til nevneren, 9, er 3, og kvadratroten til 7 er 7. Husk å skrive +/- fordi kvadratroten kan være positiv eller negativ.
Trinn 9. Flytt variablene
For å flytte variabelen x, bare flytt konstanten 2/3 til høyre side av ligningen. Nå har du to mulige svar for x: +/- (√7)/3 - 2/3. Dette er dine to svar. Du kan la den være i fred eller finne verdien til kvadratroten til 7 hvis du må skrive et svar uten kvadratrot.
Tips
- Sørg for å skrive +/- på riktig sted, ellers får du bare ett svar.
- Selv etter at du kjenner den kvadratiske formelen, øv deg på å fullføre kvadratet regelmessig enten ved å bevise den kvadratiske formelen eller løse noen problemer. På den måten vil du ikke glemme metoden når du trenger den.
