Pythagoras teorem beskriver lengdene på sidene i en høyre trekant på en elegant og praktisk måte, så denne setningen er fortsatt mye brukt i dag. Denne setningen sier at for enhver rett trekant er summen av kvadratene på de ikke-vinklede sidene lik kvadratet til hypotenusen. Med andre ord, for en rett trekant med vinkelrette sider a og b og hypotenuse c, en2 + b2 = c2.
Pythagoras teorem er en av grunnpilarene i elementær geometri. Det er utallige applikasjoner som bruker denne setningen, for eksempel for å gjøre det enkelt å finne avstanden mellom to punkter på et koordinatplan.
Steg
Metode 1 av 2: Finne sidene til et høyre trekant
Trinn 1. Kontroller at trekanten din er en riktig trekant
Pythagoras teorem gjelder bare for rette trekanter, så før du fortsetter er det veldig viktig å sørge for at trekantene dine samsvarer med egenskapene til rette trekanter. Heldigvis er det en faktor som kan indikere at trekanten din er en rett trekant. Trekanten din skal ha en vinkel på 90 grader.
Som et tegn er høyre trekanter ofte merket med små firkanter for å markere 90-graders vinkler, uten å bruke buede "kurver". Se etter dette merket i hjørnet av trekanten din
Trinn 2. Gi variablene a, b og c for sidene i trekanten din
I Pythagoras teorem representerer variablene a og b sidene som møtes i den høyre trekanten, mens variabelen c representerer hypotenusen - langsiden motsatt rett vinkel. Så til å begynne med, merk kortsidene av trekanten din med variablene a og b (det spiller ingen rolle om du bytter dem), og merk hypotenusen med variabelen c.
Trinn 3. Bestem hvilken side av trekanten du vil løse
Pythagoras teorem lar matematikere finne lengden på hvilken som helst side av en høyre trekant så lenge de kjenner lengden til de to andre sidene. Bestem hvilken side som er ukjent - a, b og/eller c. Hvis lengden på en av sidene dine er ukjent, er du klar til å gå videre.
- For eksempel vet vi at lengden på hypotenusen til en trekant er 5 og lengden på en av de andre sidene er 3, men vi er ikke sikre på lengden på den tredje siden. I dette tilfellet vet vi at vi leter etter lengden på den tredje siden, og siden vi kjenner lengden på de to andre, kan vi løse det! Vi vil jobbe med dette problemet med følgende trinn.
- Hvis du ikke kjenner lengden på to sider, må du kjenne en av sidene for å kunne bruke Pythagoras teorem. Grunnleggende trigonometriske funksjoner kan hjelpe deg hvis du kjenner den ene siden av en trekant som ikke er skrå.
Trinn 4. Koble de tosidige verdiene du allerede kjenner til ligningen
Sett lengden på sidene i trekanten inn i ligningen a2 + b2 = c2. Husk at a og b er ikke-skrånende sider, mens c er hypotenusen.
I vårt eksempel kjenner vi lengden på en av sidene og hypotenusen (3 & 5), så ligningen blir 3² + b² = 5²
Trinn 5. Firkant
For å løse ligningen din, begynn med å kvadrere de kjente sidene. Alternativt, hvis du synes dette er lettere, kan du la sidelengdene være firkantet og firkantet dem senere.
-
I vårt eksempel vil vi kvadrere 3 og 5 slik at vi får
Trinn 9. da
Trinn 25.. Vi kan skrive ligningen som 9 + b² = 25.
Trinn 6. Flytt den ukjente variabelen til den andre siden av ligningen
Om nødvendig kan du bruke grunnleggende algebraiske operasjoner for å få den ukjente variabelen til å flytte til den andre siden av ligningen og kvadratet til de to andre variablene til den andre siden. Hvis du vil finne lengden på hypotenusen, er c allerede på den andre siden av ligningen, så du trenger ikke gjøre noe for å flytte den.
I vårt eksempel er den nåværende ligningen 9 + b² = 25. For å flytte b², trekker du begge sider av ligningen med 9, så resultatet er b² = 16
Trinn 7. Kvadratrot på begge sider av ligningen
Nå er bare en variabel kvadrert på den ene siden og tallet på den andre. Kvadratrot på begge sider for å finne lengden på den ukjente siden.
-
I vårt eksempel, b² = 16, tar kvadratroten på begge sider gir b = 4. Dermed kan vi si at lengden på den ukjente siden av trekanten er
Trinn 4..
Trinn 8. Bruk pytagorasetningen for å finne sidene i en ekte høyre trekant
Grunnen til at Pythagoras sats er mye brukt i dag er at den kan brukes på utallige praktiske situasjoner. Lær å kjenne rette trekanter i det virkelige liv - i enhver situasjon der to objekter eller rette linjer møter en rett vinkel og det tredje objektet eller linjen slutter seg til de to objektene eller linjene diagonalt, kan du bruke Pythagoras teorem til å finne lengden på siden den andre, hvis lengden på de to andre sidene er kjent.
-
La oss prøve et ekte eksempel som er litt vanskeligere. En stige lener seg mot en bygning. Avstanden fra bunnen av trappen til veggen er 5 meter. Høyden på trappene når 20 meter. Hvor lang er stigen?
-
5 meter fra veggen og 20 meter høy forteller oss lengden på sidene i trekanten. Siden veggen og bakken (antatt) danner en rett vinkel og stigen står diagonalt mot veggen, kan dette arrangementet betraktes som en rett trekant med sidelengder a = 5 og b = 20. Lengden på stigen er hypotenusen, så verdien av c er ikke kjent. La oss bruke Pythagoras teorem:
- a² + b² = c²
- (5) ² + (20) ² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- rot (425) = c
- c = 20,6. Den omtrentlige lengden på stigen er 20,6 meter.
-
Metode 2 av 2: Beregning av avstanden mellom to punkter i XY-flyet
Trinn 1. Finn to punkter i XY-planet
Pythagoras-setningen kan enkelt brukes til å beregne avstanden mellom den rette linjen mellom to punkter i XY-planet. Alt du trenger å vite er x- og y -koordinatene til de to punktene. Vanligvis skrives disse koordinatene sammen i formen (x, y).
For å finne avstanden mellom disse to punktene, vil vi betrakte hvert punkt som en av de ikke-rette vinklene i en rett trekant. Hvis du gjør det, blir det enkelt å finne lengden på sidene a og b, og deretter beregne hypotenusen c, som er avstanden mellom de to punktene
Trinn 2. Tegn de to punktene i bildet
I et vanlig XY-plan representerer hvert punkt (x, y), x en horisontal koordinat og y representerer en vertikal koordinat. Du kan finne avstanden mellom de to punktene uten å tegne det, men det vil gi deg et visuelt bilde som du kan bruke for å se om svaret ditt er riktig.
Trinn 3. Finn lengden på den ikke-skrånende siden av trekanten din
Ved å bruke de to punktene som vinklene på trekanten ved siden av hypotenusen, finn lengden på sidene a og b i trekanten. Du kan gjøre dette ved hjelp av et bilde eller formelen | x1 - x2| for den horisontale siden og | y1 - y2| for den vertikale siden, med (x1, y1) som det første punktet og (x2, y2) som det andre punktet.
-
La våre to poeng være (6, 1) og (3, 5). Lengden på den horisontale siden av trekanten vår er:
- | x1 - x2|
- |3 - 6|
-
| -3 | =
Trinn 3.
-
Lengden på den vertikale siden er:
- | y1 - y2|
- |1 - 5|
-
| -4 | =
Trinn 4.
- Så, i vår høyre trekant, side a = 3 og side b = 4.
Trinn 4. Bruk pytagorasetningen for å finne lengden på hypotenusen
Avstanden mellom to punkter er lengden på hypotenusen i trekanten hvis to sider du nettopp fant. Bruk pytagorasetningen for å finne hypotenusen, hvor a er lengden på den første siden og b er lengden på den andre siden.
-
I vårt eksempel bruker vi punktene (3, 5) og (6, 1) hvis sidelengder er 3 og 4, slik at vi kan finne hypotenusen som følger:
-
- (3) ²+(4) ² = c²
- c = rot (9+16)
- c = rot (25)
-
c = 5. Avstanden mellom (3, 5) og (6, 1) er
Trinn 5..
-
Tips
-
Hypotenusen er alltid:
- motsatt rett vinkel (uten å berøre riktig vinkel)
- lengste side i en høyre trekant
- kalt c i Pythagoras teorem
- rot (x) betyr kvadratroten til x.
- Husk å alltid sjekke svarene dine. Hvis svaret ditt virker feil, kan du prøve igjen og prøve igjen.
- Hvis trekanten ikke er en rett trekant, trenger du tilleggsinformasjon, ikke bare lengden på de to andre sidene.
- En annen måte å kontrollere - den lengste siden er motsatt den største vinkelen og den korteste siden er mot den minste vinkelen.
- Tall er nøkkelen til å skrive ned de riktige verdiene for a, b og c. Hvis du jobber med et historieproblem, må du skrive ned problemet i bildeform først.
- Hvis du bare kjenner lengden på den ene siden, fungerer ikke Pythagoras teorem. Prøv å bruke trigonometri (sin, cos, tan) eller 30-60-90 / 45-45-90 forhold.
