Det er flere matematiske funksjoner som bruker hjørner. En geometrisk figur har flere hjørner, et system med ulikheter har ett eller flere hjørner, og en parabel eller kvadratisk ligning har også hjørner. Hvordan finne hjørner avhenger av situasjonen, men her er noen ting du bør vite om å finne hjørner i hvert scenario.
Steg
Metode 1 av 5: Finne antall virvler i en form
Trinn 1. Lær Eulers formel
Eulers formel, som det refereres til i geometri eller grafer, sier at for enhver form som ikke tangerer seg selv, vil antallet kanter pluss antall hjørner, minus antall kanter, alltid være to.
-
Hvis den er skrevet i form av en ligning, ser formelen slik ut: F + V - E = 2
- F refererer til antall sider.
- V refererer til antall hjørner eller hjørner
- E refererer til antall ribber
Trinn 2. Endre formelen for å finne antall hjørner
Hvis du vet antall sider og kanter som en form har, kan du raskt beregne antall hjørner ved å bruke Eulers formel. Trekk F fra begge sider av ligningen og legg til E på begge sider, og la V stå på den ene siden.
V = 2 - F + E
Trinn 3. Skriv inn de kjente tallene og løs
Alt du trenger å gjøre på dette tidspunktet er å koble antall sider og kanter til ligningen før du legger til eller trekker fra normalt. Svaret du får er antall hjørner og løser dermed problemet.
-
Eksempel: For et rektangel som har 6 sider og 12 kanter …
- V = 2 - F + E
- V = 2 - 6 + 12
- V = -4 + 12
- V = 8
Metode 2 av 5: Finne vertexer i et system med lineær ulikhet
Trinn 1. Tegn løsningen på systemet med lineære ulikheter
I noen tilfeller kan tegneløsninger for alle ulikheter i systemet visuelt vise noen, eller til og med alle hjørnene. Men hvis du ikke kan, må du finne toppunktet algebraisk.
Hvis du bruker en grafisk kalkulator for å tegne ulikheten, kan du sveipe opp på skjermen til toppunktet og finne koordinatene på den måten
Trinn 2. Gjør ulikheten til en ligning
For å løse et system med ulikheter må du midlertidig konvertere ulikhetene til ligninger for å finne verdien av x og y.
-
Eksempel: For et system med ulikheter:
- y <x
- y> -x + 4
-
Endre ulikheten til:
- y = x
- y> -x + 4
Trinn 3. Substitusjon av en variabel til en annen variabel
Selv om det er andre måter å løse x og y, Erstatning er ofte den enkleste måten. Skriv inn verdi y fra en ligning til en annen, som betyr "erstatning" y inn i en annen ligning med verdien av x.
-
Eksempel: Hvis:
- y = x
- y = -x + 4
-
Så y = -x + 4 kan skrives som:
x = -x + 4
Trinn 4. Løs for den første variabelen
Nå som du bare har en variabel i ligningen, kan du enkelt løse variabelen, x, som i andre ligninger: ved å legge til, trekke fra, dividere og multiplisere.
-
Eksempel: x = -x + 4
- x + x = -x + x + 4
- 2x = 4
- 2x / 2 = 4/2
- x = 2
Trinn 5. Løs de resterende variablene
Skriv inn en ny verdi for x inn i den opprinnelige ligningen for å finne verdien av y.
-
Eksempel: y = x
y = 2
Trinn 6. Definer toppunktene
Toppunktet er koordinaten som inneholder verdien x og y som du nettopp oppdaget.
Eksempel: (2, 2)
Metode 3 av 5: Finne virvelen på en parabel ved hjelp av symmetriaksen
Trinn 1. Faktor ligningen
Omskrive den kvadratiske ligningen i faktorform. Det er flere måter å faktorisere en kvadratisk ligning på, men når du er ferdig, har du to grupper i parentes, som når du multipliserer dem sammen, får du den opprinnelige ligningen.
-
Eksempel: (ved hjelp av parsing)
- 3x2 - 6x - 45
- Utgir samme faktor: 3 (x2 - 2x - 15)
- Multiplisere koeffisientene a og c: 1 * -15 = -15
- Finner to tall som når de multipliseres er lik -15 og hvis sum er lik verdien b, -2; 3 * -5 = -15; 3 - 5 = -2
- Erstatt de to verdiene i ligningen 'ax2 + kx + hx + c: 3 (x2 + 3x - 5x - 15)
- Factoring ved gruppering: f (x) = 3 * (x + 3) * (x - 5)
Trinn 2. Finn x-skjæringspunktet for ligningen
Når funksjonen x, f (x), er lik 0, skjærer parabolen x-aksen. Dette vil skje når en hvilken som helst faktor er lik 0.
-
Eksempel: 3 * (x + 3) * (x - 5) = 0
- +3 = 0
- - 5 = 0
- = -3; = 5
- Så røttene er: (-3, 0) og (5, 0)
Trinn 3. Finn midtpunktet
Symmetriaksen til ligningen vil ligge nøyaktig halvveis mellom ligningens to røtter. Du må kjenne symmetriaksen fordi hjørnene ligger der.
Eksempel: x = 1; denne verdien er nøyaktig i midten av -3 og 5
Trinn 4. Koble verdien av x til den opprinnelige ligningen
Koble x -verdien til symmetriaksen til parabolen. Y -verdien vil være y -verdien til toppunktet.
Eksempel: y = 3x2 - 6x - 45 = 3 (1) 2 - 6 (1) - 45 = -48
Trinn 5. Skriv ned toppunktene
Frem til dette punktet vil de siste beregnede verdiene av x og y gi koordinatene til toppunktet.
Eksempel: (1, -48)
Metode 4 av 5: Finne virvelen på en parabel ved å fullføre firkanter
Trinn 1. Omskrive den opprinnelige ligningen i toppunktform
"Toppunktet" -formen er en ligning skrevet i formen y = a (x - h)^2 + k, og toppunktet er (h, k). Den opprinnelige kvadratiske ligningen må skrives om i denne formen, og for det må du fullføre kvadratet.
Eksempel: y = -x^2 - 8x - 15
Trinn 2. Få koeffisienten a
Fjern den første koeffisienten, a fra de to første koeffisientene i ligningen. La den siste koeffisienten c ligge på dette tidspunktet.
Eksempel: -1 (x^2 + 8x) - 15
Trinn 3. Finn den tredje konstanten inne i parentesene
Den tredje konstanten må omsluttes i parentes slik at verdiene i parentesene danner en perfekt firkant. Denne nye konstanten er lik kvadratet til halve koeffisienten i midten.
-
Eksempel: 8 /2 = 4; 4 * 4 = 16; så det,
- -1 (x^2 + 8x + 16)
- Husk at prosessene som utføres inne i parentesene også må utføres utenfor parentesene:
- y = -1 (x^2 + 8x + 16) - 15 + 16
Trinn 4. Forenkle ligningen
Siden formen inne i brakettene nå er en perfekt firkant, kan du forenkle formen inne i parentesene til faktorisert form. Samtidig kan du legge til eller trekke fra verdier utenfor parentesene.
Eksempel: y = -1 (x + 4)^2 + 1
Trinn 5. Finn koordinatene basert på toppunktsligningen
Husk at toppunktet av ligningen er y = a (x - h)^2 + k, med (h, k) som er koordinatene til toppunktet. Nå har du fullstendig informasjon for å angi verdier i h og k og løse problemet.
- k = 1
- h = -4
- Deretter kan toppunktet i ligningen bli funnet på: (-4, 1)
Metode 5 av 5: Finne virvelen på en parabel ved hjelp av en enkel formel
Trinn 1. Finn x -verdien til toppunktet direkte
Når parabelens ligning er skrevet i formen y = ax^2 + bx + c, x av toppunktet kan bli funnet ved formelen x = -b / 2a. Bare koble a- og b -verdiene fra ligningen til formelen for å finne x.
- Eksempel: y = -x^2 - 8x - 15
- x = -b/2a = -(-8)/(2*(-1)) = 8/(-2) = -4
- x = -4
Trinn 2. Koble denne verdien til den opprinnelige ligningen
Ved å koble verdien av x til ligningen, finner du y. Y -verdien vil være y -verdien til toppunktskoordinatene.
-
Eksempel: y = -x^2 - 8x - 15 = - (- 4)^2 - 8 (-4) - 15 = - (16) - (-32) - 15 = -16 + 32 - 15 = 1
y = 1
Trinn 3. Skriv ned koordinatene til toppunktene
X- og y -verdiene du får er koordinatene til toppunktet.
