Rotformen er en algebraisk setning som har tegnet på kvadratroten (eller kubrot eller høyere). Dette skjemaet kan ofte representere to tall som har samme verdi, selv om de kan se forskjellige ut ved første øyekast (for eksempel 1/(sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1). Derfor trenger vi en "standardformel" for denne formen. Hvis det er to utsagn, begge i standardformelen, som ser annerledes ut, er de ikke de samme. Matematikere er enige om at standardformuleringen av den kvadratiske formen oppfyller følgende krav:
- Unngå å bruke brøk
- Ikke bruk brøkekrefter
- Unngå å bruke rotformen i nevneren
- Inneholder ikke multiplikasjon av to rotformer
- Tall under roten kan ikke rotes lenger
En praktisk bruk av dette er i flervalgseksamener. Når du finner et svar, men svaret ditt ikke er det samme som de tilgjengelige alternativene, kan du prøve å forenkle det til en standardformel. Siden spørsmålstakere vanligvis skriver svar i standardformler, gjør du det samme med svarene dine for å matche deres. I essayspørsmål betyr kommandoer som "forenkle svaret ditt" eller "forenkle alle røtter" at elevene må utføre følgende trinn til de oppfyller standardformelen som ovenfor. Dette trinnet kan også brukes til å løse ligninger, selv om noen typer ligninger er lettere å løse i ikke-standardformler.
Steg
Trinn 1. Gjennomgå eventuelt reglene for drift av røtter og eksponenter (begge er like - røtter er fraksjoner) som vi trenger dem i denne prosessen
Gjennomgå også reglene for forenkling av polynomer og rasjonelle former, da vi trenger å forenkle dem.
Metode 1 av 6: Perfekte firkanter
Trinn 1. Forenkle alle røtter som inneholder perfekte firkanter
En perfekt firkant er produktet av et tall i seg selv, for eksempel 81, som er et produkt på 9 x 9. For å forenkle en perfekt firkant, fjern bare kvadratroten og skriv ned kvadratroten til tallet.
- For eksempel er 121 en perfekt firkant fordi 11 x 11 er lik 121. Så du kan forenkle roten (121) til 11 ved å fjerne rottegnet.
- For å gjøre dette trinnet enklere, må du huske de første tolv perfekte rutene: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Trinn 2. Forenkle alle røtter som inneholder perfekte terninger
En perfekt kube er produktet av å multiplisere et tall med seg selv to ganger, for eksempel 27, som er produktet av 3 x 3 x 3. For å forenkle rotformen til en perfekt kube, fjern bare kvadratroten og skriv ned kvadratroten av tallet.
For eksempel er 343 en perfekt kube fordi den er et produkt av 7 x 7 x 7. Så kube roten til 343 er 7
Metode 2 av 6: Konvertering av brøker til røtter
Eller endre omvendt (det hjelper noen ganger), men ikke bland dem sammen i samme setning som root (5) + 5^(3/2). Vi antar at du vil bruke rotformen, og vi vil bruke symbolene rot (n) for kvadratroten og sqrt^3 (n) for kube roten.
Trinn 1. Ta en til fraksjonens kraft og konverter den til rotformen, for eksempel x^(a/b) = rot til b -effekten til x^a
Hvis kvadratroten er i brøkform, konverter den til vanlig form. For eksempel kvadratrot (2/3) av 4 = rot (4)^3 = 2^3 = 8
Trinn 2. Konverter negative eksponenter til brøk, for eksempel x^-y = 1/x^y
Denne formelen gjelder bare for konstante og rasjonelle eksponenter. Hvis du har å gjøre med et skjema som 2^x, ikke endre det, selv om problemet indikerer at x kan være en brøk eller et negativt tall
Trinn 3. Slå sammen samme stamme og forenkle den resulterende rasjonelle formen.
Metode 3 av 6: Eliminering av fraksjoner i røtter
Standardformelen krever at roten er et heltall.
Trinn 1. Se på tallet under kvadratroten hvis det fortsatt inneholder en brøkdel
Hvis fortsatt,…
Trinn 2. Bytt til en brøkdel som består av to røtter ved hjelp av identitetsrot (a/b) = sqrt (a)/sqrt (b)
Ikke bruk denne identiteten hvis nevneren er negativ, eller hvis den er en variabel som kan være negativ. I dette tilfellet, forenkle brøkdelen først
Trinn 3. Forenkle hver perfekte firkant av resultatet
Det vil si, konvertere sqrt (5/4) til sqrt (5)/sqrt (4), forenkle deretter til sqrt (5)/2.
Trinn 4. Bruk andre forenklingsmetoder som forenkling av komplekse brøker, kombinering av like termer, etc
Metode 4 av 6: Kombinere multiplikasjonsrøtter
Trinn 1. Hvis du multipliserer en rotform med en annen, kombinerer du de to i en kvadratrot ved å bruke formelen:
sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab). For eksempel, endre rot (2)*rot (6) til rot (12).
- Identiteten ovenfor, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab), er gyldig hvis tallet under tegnet til sqrt ikke er negativt. Ikke bruk denne formelen når a og b er negative fordi du vil gjøre feilen med å lage sqrt (-1)*sqrt (-1) = sqrt (1). Setningen til venstre er lik -1 (eller udefinert hvis du ikke bruker komplekse tall) mens setningen til høyre er +1. Hvis a og/eller b er negative, må du først "endre" tegnet som sqrt (-5) = i*sqrt (5). Hvis skjemaet under rottegnet er en variabel hvis tegn er ukjent fra konteksten eller kan være positivt eller negativt, la det være slik det er for øyeblikket. Du kan bruke den mer generelle identiteten, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (sgn (a))*sqrt (sgn (b))*sqrt (| ab |) som gjelder for alle reelle tall a og b, men vanligvis hjelper ikke denne formelen mye fordi den gir kompleksitet til å bruke sgn (signum) -funksjonen.
- Denne identiteten er bare gyldig hvis røttens former har samme eksponent. Du kan multiplisere forskjellige kvadratrøtter, for eksempel sqrt (5)*sqrt^3 (7) ved å konvertere dem til den samme kvadratroten. For å gjøre dette, konverter kvadratroten midlertidig til en brøk: sqrt (5) * sqrt^3 (7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6). Bruk deretter multiplikasjonsregelen til å multiplisere de to til kvadratroten til 6125.
Metode 5 av 6: Fjerne kvadratfaktoren fra roten
Trinn 1. Fakturering av ufullkomne røtter til hovedfaktorer
En faktor er et tall som når det multipliseres med et annet tall danner et tall - for eksempel er 5 og 4 to faktorer på 20. For å bryte ned ufullkomne røtter, skriv ned alle faktorene til tallet (eller så mange som mulig, hvis tallet er for stort) til du har funnet en perfekt firkant.
Prøv for eksempel å finne alle faktorene 45: 1, 3, 5, 9, 15 og 45. 9 er en faktor på 45 og er også en perfekt firkant (9 = 3^2). 9 x 5 = 45
Trinn 2. Fjern alle multiplikatorer som er perfekte firkanter fra kvadratroten
9 er en perfekt firkant fordi den er produktet av 3 x 3. Ta den 9 ut av kvadratroten og erstatt den med 3 foran kvadratroten, og la 5 stå inne i kvadratroten. Hvis du "setter" 3 tilbake til kvadratroten, multipliserer du med seg selv for å lage 9, og hvis du multipliserer med 5 returnerer det 45. 3 røtter av 5 er en enkel måte å uttrykke roten til 45.
Det vil si sqrt (45) = sqrt (9*5) = sqrt (9)*sqrt (5) = 3*sqrt (5)
Trinn 3. Finn den perfekte firkanten i variabelen
Kvadratroten til et kvadrat er | a |. Du kan forenkle dette til bare "a" hvis den kjente variabelen er positiv. Kvadratroten til a til kraften 3 når den er delt ned til kvadratroten i et kvadrat ganger a - husk at eksponentene summerer seg når vi ganger to tall til effekten av a, så et kvadrat ganger a er lik a til tredje makt.
Derfor er en perfekt firkant i form av en terning et kvadrat
Trinn 4. Fjern variabelen som inneholder det perfekte kvadratet fra kvadratroten
Ta nå en kvadrat fra kvadratroten og endre den til | a |. Den enkle formen til roten a til kraften 3 er | a | roten a.
Trinn 5. Kombiner like vilkår og forenkle alle røttene til beregningsresultatene
Metode 6 av 6: Rasjonaliser nevneren
Trinn 1. Standardformelen krever at nevneren er et heltall (eller et polynom hvis det inneholder en variabel) så mye som mulig
-
Hvis nevneren består av ett begrep under rottegnet, for eksempel […]/root (5), multipliserer du både teller og nevner med den roten for å få […]*sqrt (5)/sqrt (5)*sqrt (5) = […]*rot (5)/5.
For kuberøtter eller høyere, gang med den riktige roten slik at nevneren er rasjonell. Hvis nevneren er rot^3 (5), multipliserer du telleren og nevneren med sqrt^3 (5)^2
-
Hvis nevneren består av å legge til eller trekke fra to kvadratrøtter som sqrt (2) + sqrt (6), multipliserer du kvantifisereren og nevneren med konjugatet, som er samme form, men med motsatt tegn. Så […]/(rot (2) + rot (6)) = […] (rot (2) -rot (6))/(rot (2) + rot (6)) (rot (2) -rot (6)). Bruk deretter identitetsformelen for differansen mellom to firkanter [(a + b) (ab) = a^2-b^2] for å rasjonalisere nevneren, for å forenkle (sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)) = sqrt (2)^2 -sqrt (6)^2 = 2-6 = -4.
- Dette gjelder også nevnere som 5 + sqrt (3) fordi alle heltall er røtter til andre heltall. [1/(5 + sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5 + sqrt (3)) (5-sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5^ 2-sqrt (3)^2) = (5-sqrt (3))/(25-3) = (5-sqrt (3))/22]
- Denne metoden gjelder også for tillegg av røtter som sqrt (5) -sqrt (6)+sqrt (7). Hvis du grupperer dem i (sqrt (5) -sqrt (6))+sqrt (7) og multipliserer med (sqrt (5) -sqrt (6))-sqrt (7), er svaret ikke i rasjonell form, men fremdeles i a+b*rot (30) der a og b allerede er rasjonelle tall. Gjenta deretter prosessen med konjugatene a+b*sqrt (30) og (a+b*sqrt (30)) (a-b*sqrt (30)) vil være rasjonelle. I hovedsak, hvis du kan bruke dette trikset til å fjerne ett rottegn i nevneren, kan du gjenta det mange ganger for å fjerne alle røttene.
- Denne metoden kan også brukes for nevnere som inneholder en høyere rot, for eksempel den fjerde roten av 3 eller den syvende roten av 9. Multipliser telleren og nevneren med konjugatet til nevneren. Dessverre kan vi ikke få konjugatet til nevneren direkte, og det er vanskelig å gjøre det. Vi kan finne svaret i en algebrabok om tallteori, men jeg skal ikke gå inn på det.
Trinn 2. Nå er nevneren i rasjonell form, men telleren ser rotete ut
Alt du trenger å gjøre er å multiplisere det med konjugatet til nevneren. Fortsett og multipliser som vi ville multiplisere polynom. Sjekk om noen vilkår kan utelates, forenkles eller kombineres, hvis det er mulig.
Trinn 3. Hvis nevneren er et negativt heltall, multipliserer både teller og nevner med -1 for å gjøre det positivt
Tips
- Du kan søke på nett etter nettsteder som kan bidra til å forenkle rotformer. Bare skriv ligningen med rottegnet, og etter å ha trykket Enter vil svaret vises.
- For enklere spørsmål kan det hende du ikke bruker alle trinnene i denne artikkelen. For mer komplekse spørsmål må du kanskje bruke flere trinn flere ganger. Bruk de "enkle" trinnene noen ganger, og sjekk om svaret ditt passer til standardformuleringskriteriene vi diskuterte tidligere. Hvis svaret ditt er i standardformelen, er du ferdig; men hvis ikke, kan du sjekke ett av trinnene ovenfor for å hjelpe deg med å få det gjort.
- De fleste referanser til den "anbefalte standardformelen" for røtteform gjelder også for komplekse tall (i = root (-1)). Selv om en setning inneholder et "i" i stedet for en rot, unngå nevnere som fortsatt inneholder et i så mye som mulig.
- Noen av instruksjonene i denne artikkelen antar at alle røtter er firkanter. De samme generelle prinsippene gjelder røttene til høyere makter, selv om noen deler (spesielt rasjonalisering av nevneren) kan være ganske vanskelige å jobbe med. Bestem selv hvilken form du vil ha, for eksempel sqr^3 (4) eller sqr^3 (2)^2. (Jeg husker ikke hvilken form som vanligvis foreslås i lærebøker).
- Noen av instruksjonene i denne artikkelen bruker ordet "standardformel" for å beskrive "vanlig form". Forskjellen er at standardformelen bare godtar skjemaet 1+sqrt (2) eller sqrt (2) +1 og anser de andre skjemaene som ikke-standard; Vanlig form forutsetter at du, leseren, er smart nok til å se "likheten" til disse to tallene, selv om de ikke er identiske skriftlig ('samme' betyr i deres aritmetiske egenskap (kommutativ tillegg), ikke deres algebraiske eiendom (rot (2) er roten ikke-negativ til x^2-2)). Vi håper at leserne vil forstå den lille uforsiktigheten i bruken av denne terminologien.
- Hvis noen av ledetrådene virker tvetydige eller motstridende, gjør du alle trinnene som er entydige og konsekvente, og velg deretter hvilken form du foretrekker.
