Avstand, ofte gitt variabelen “s”, er en måling av plass som er en rett linje mellom to punkter. Avstand kan referere til mellomrommet mellom to ubevegelige punkter (for eksempel er en persons høyde avstanden fra bunnen av føttene til toppen av hodet) eller det kan referere til mellomrommet mellom den nåværende posisjonen til et objekt i bevegelse og det opprinnelige stedet der objektet begynte å bevege seg. De fleste avstandsproblemer kan løses ved hjelp av ligningen s = v × t, hvor s er avstanden, v er gjennomsnittshastigheten, og t er tiden, eller bruker s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2), hvor (x1, y1) og (x2, y2) er x- og y -koordinatene til de to punktene.
Steg
Metode 1 av 2: Beregning av avstand med gjennomsnittlig hastighet og tid
Trinn 1. Finn gjennomsnittshastigheten og tidsverdiene
Når du prøver å beregne avstanden et objekt i bevegelse har reist, er det to opplysninger som er viktige for denne beregningen: hastighet (eller hastighet) og tid at objektet i bevegelse har reist. Med denne informasjonen er det mulig å beregne avstanden reist av objektet ved hjelp av formelen s = v × t.
For bedre å forstå prosessen med å bruke avstandsformelen, la oss løse et eksempelproblem i denne delen. La oss si at vi reiser nedover en vei i 120 miles i timen (ca. 193 km i timen), og vi vil vite hvor langt vi har tilbakelagt på en halv time. Bruk 120 miles i timen som verdien av gjennomsnittshastigheten og 0,5 timer som verdien av tid, vil vi løse dette problemet i neste trinn.
Trinn 2. Multipliser gjennomsnittshastigheten med tiden
Etter å ha kjent gjennomsnittshastigheten til et objekt i bevegelse og tiden det har reist, er det relativt enkelt å beregne tilbakelagt distanse. Bare multipliser de to verdiene for å finne svaret.
- Vær imidlertid oppmerksom på at hvis tidsenheten som brukes i gjennomsnittshastighetsverdien er forskjellig fra den som ble brukt i tidsverdien, må du endre en for å matche. For eksempel, hvis vi hadde en gjennomsnittlig hastighetsverdi målt i km i timen og en tidsverdi målt i minutter, må du dele tidsverdien med 60 for å konvertere den til timer.
- La oss avslutte vårt eksempelproblem. 120 miles/time × 0,5 timer = 60 miles. Vær oppmerksom på at enhetene i tidsverdien (timer) utelater nevneren av gjennomsnittshastigheten (timer) og bare etterlater enhetene avstand (miles).
Trinn 3. Endre ligningen for å beregne en annen variabel
Enkelheten i den grunnleggende avstandsligningen (s = v × t) gjør det enkelt å bruke ligningen for å finne verdien av en annen variabel enn avstand. Bare isoler variabelen du vil finne i henhold til de grunnleggende reglene for algebra, og skriv deretter inn verdiene til de to andre variablene for å finne verdien til den tredje variabelen. Med andre ord, for å beregne objektets gjennomsnittlige hastighet, bruk ligningen v = s/t og for å beregne tiden som har gått med objektet, bruk ligningen t = s/v.
- La oss for eksempel si at vi vet at en bil har tilbakelagt 60 miles på 50 minutter, men vi har ikke en verdi for gjennomsnittshastigheten når objektet beveger seg. I dette tilfellet kan vi isolere variabelen v i den grunnleggende avstandsligningen for å få v = d/t, deretter bare dele 60 miles/50 minutter for å få svaret 1,2 miles/minutt.
- Vær oppmerksom på at i eksemplet har svaret for hastighet en uvanlig enhet (miles/minutt). For å få svar i de mer vanlige miles/timen, multipliser med 60 minutter/time for å få resultatet 72 miles/time.
Trinn 4. Legg merke til at variabelen “v” i avstandsformelen refererer til gjennomsnittshastigheten
Det er viktig å forstå at den grunnleggende avstandsformelen gir et forenklet syn på bevegelsen til et objekt. Avstandsformelen antar at et objekt i bevegelse har en konstant hastighet - med andre ord antar det at et objekt i bevegelse har en enkelt, uforanderlig hastighet. For abstrakte matematiske problemer, for eksempel de du kan støte på i akademiske omgivelser, er det noen ganger fortsatt mulig å modellere bevegelsen til et objekt ved å bruke denne antagelsen. I virkeligheten gjenspeiler imidlertid disse eksemplene ofte ikke nøyaktig bevegelsen av objekter i bevegelse, som faktisk kan akselerere, bremse, stoppe og reversere over tid.
- For eksempel, i eksempelproblemet ovenfor, konkluderte vi med at for å tilbakelegge 60 miles på 50 minutter, måtte vi reise med 72 miles i timen. Dette er imidlertid bare sant hvis du reiser med en hastighet gjennom hele reisen. For eksempel, ved å reise 80 miles/time for halve reisen og 64 miles/time for den gjenværende halvdelen, vil vi fortsatt dekke 60 miles på 50 minutter - 72 miles/time = 60 miles/50 minutter = ?????
- Beregningsbaserte løsninger som bruker derivater er ofte et bedre valg enn avstandsformler for å definere et objekts hastighet i virkelige situasjoner fordi endringer i hastighet er mulige.
Metode 2 av 2: Beregning av avstanden mellom to punkter
Trinn 1. Finn de to romlige koordinatene til de to punktene
Hva om du i stedet for å beregne avstanden et objekt i bevegelse har reist, må beregne avstanden mellom to ubevegelige objekter? I et slikt tilfelle vil ikke den hastighetsbaserte avstandsformelen beskrevet ovenfor fungere. Heldigvis kan forskjellige avstandsformler brukes til å enkelt beregne avstanden mellom to linjer. For å bruke denne formelen må du imidlertid kjenne koordinatene til de to punktene. Hvis du håndterer endimensjonale avstander (som på en tallinje), vil koordinatene bestå av to tall, x1 og x2. Hvis du håndterer avstander i to dimensjoner, trenger du to verdier (x, y), (x1, y1) og (x2, y2). Til slutt, for tre dimensjoner, trenger du verdien (x1, y1, z1) og (x2, y2, z2).
Trinn 2. Beregn den endimensjonale avstanden ved å trekke fra koordinatverdiene til to punkter
Det er enkelt å beregne den endimensjonale avstanden mellom to punkter når du allerede vet verdien av hvert punkt. Bare bruk formelen s = | x2 - x1|. I denne formelen trekker du x1 fra x2, ta deretter den absolutte verdien av svaret ditt for å finne avstanden mellom x1 og x2. Vanligvis vil du bruke den endimensjonale avstandsformelen når de to punktene er på en linje eller tallakse.
- Vær oppmerksom på at denne formelen bruker absolutte verdier (symbol " | |"). Absolutt verdi betyr bare at verdien inne i symbolet blir positiv hvis den er negativ.
-
La oss for eksempel si at vi stopper ved siden av veien på en helt rett motorvei. Hvis det er en by 5 mil foran oss og en annen by 1 kilometer bak oss, hvor langt er de to byene? Hvis vi setter by 1 som x1 = 5 og by 2 som x1 = -1, vi kan beregne s, avstanden mellom de to byene, på følgende måte:
- s = | x2 - x1|
- = |-1 - 5|
- = |-6| = 6 miles.
Trinn 3. Beregn den todimensjonale avstanden ved hjelp av Pythagoras teorem
Å beregne avstanden mellom to punkter i todimensjonalt rom er mer komplisert enn i endimensjonalt, men ikke vanskelig. Bare bruk formelen s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2). I denne formelen trekker du de to x-koordinatene, beregner kvadratroten, trekker de to y-koordinatene, beregner kvadratroten, legger deretter de to resultatene sammen og beregner kvadratroten for å finne avstanden mellom de to punktene. Denne formelen gjelder for et todimensjonalt plan - for eksempel på en vanlig x/y -graf.
- Den todimensjonale avstandsformelen bruker Pythagoras teorem, som sier at lengden på hypotenusen til trekanten til høyre er lik kvadratroten til kvadratet på de to andre sidene.
- La oss for eksempel si at vi har to punkter i x -y -planet: (3, -10) og (11, 7), som representerer midten av en sirkel og et punkt på sirkelen, henholdsvis. For å finne den rette linjeavstanden mellom to punkter, kan vi beregne det på følgende måte:
- s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2)
- s = ((11 - 3)2 + (7 - -10)2)
- s = (64 + 289)
- s = (353) = 18, 79
Trinn 4. Beregn den tredimensjonale avstanden ved å endre den todimensjonale avstandsformelen
I tre dimensjoner har punkter z -koordinater i tillegg til x- og y -koordinater. For å beregne avstanden mellom to punkter i tredimensjonalt rom, bruk s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2). Dette er en modifisert form av den todimensjonale avstandsformelen beskrevet ovenfor som inkluderer z-koordinaten. Trekker du de to z-koordinatene, beregner kvadratroten og fortsetter med resten av formelen, sikrer du at det endelige svaret representerer den tredimensjonale avstanden mellom de to punktene.
- La oss for eksempel si at vi er astronauter som flyter i verdensrommet mellom to asteroider. Den ene asteroiden er omtrent 8 km foran, 2 km til høyre og 5 km under oss, mens den andre er omtrent 3 km bak, 3 km til venstre og 4 km over oss. Hvis vi representerer posisjonene til de to asteroider med koordinatene (8, 2, -5) og (-3, -3, 4), kan vi beregne avstanden mellom dem på følgende måte:
- s = ((-3 - 8)2 + (-3 - 2)2 + (4 - -5)2)
- s = ((-11)2 + (-5)2 + (9)2)
- s = (121 + 25 + 81)
- s = (227) = 15, 07 km
