Derivater kan brukes til å utlede nyttige egenskaper fra en graf, for eksempel maksimums-, minimums-, topp-, bunn- og skråningsverdier. Du kan til og med bruke den til å tegne komplekse ligninger uten en grafisk kalkulator! Dessverre er det ofte kjedelig å jobbe med derivater, men denne artikkelen vil hjelpe deg med noen tips og triks.
Steg
Trinn 1. Forstå avledet notasjon
De to følgende notasjonene er de mest brukte, selv om mange andre kan finnes her på Wikipedia.
- Leibniz -notasjon Denne notasjonen er den mest brukte notasjonen når ligningen involverer y og x. dy/dx betyr bokstavelig talt derivatet av y med hensyn til x. Det kan være nyttig å tenke på det som y/Δx for svært forskjellige verdier av x og y. Denne forklaringen fører til definisjonen av den avledede grensen: limh-> 0 (f (x+h) -f (x))/t. Når du bruker denne notasjonen for det andre derivatet, bør du skrive: d2y/dx2.
- Lagrange -notasjon Derivatet av funksjonen f er også skrevet som f '(x). Denne notasjonen leser f aksentert x. Denne notasjonen er kortere enn Leibnizs notasjon, og er nyttig når du ser på derivater som funksjoner. For å danne en større grad av derivat, legg bare til 'til f, så blir det andre derivatet f' '(x).
Trinn 2. Forstå betydningen av derivatet og årsakene til nedstigningen
For det første, for å finne skråningen til en lineær graf, tas to punkter på linjen, og deres koordinater legges inn i ligningen (y2 - y1)/(x2 - x1). Den kan imidlertid bare brukes til lineære grafer. For kvadratiske ligninger og høyere vil linjen være en kurve, så det er ikke veldig nøyaktig å finne forskjellen mellom to punkter. For å finne tangentens helling i en kurvediagram, tas to punkter, og settes inn i den generelle ligningen for å finne kurvenes helling: [f (x + dx) - f (x)]/dx. Dx angir delta x, som er forskjellen mellom to x koordinater på to punkter i grafen. Vær oppmerksom på at denne ligningen er den samme som (y2 - y1)/(x2 - x1), bare i en annen form. Siden det var kjent at resultatene ville være upresise, ble det benyttet en indirekte tilnærming. For å finne tangensens helling på (x, f (x)) må dx være nær 0, slik at de to trukne punktene smelter sammen til ett punkt. Du kan imidlertid ikke dele 0, så når du har angitt topunktsverdiene, må du bruke factoring og andre metoder for å fjerne dx fra bunnen av ligningen. Når du har gjort det, gjør du dx 0 og du er ferdig. Dette er skråningen på tangenten på (x, f (x)). Derivatet av en ligning er den generelle ligningen for å finne skråningen til en hvilken som helst tangens på en graf. Dette kan virke veldig komplisert, men det er noen eksempler nedenfor som vil hjelpe deg med å forklare hvordan du får derivatet.
Metode 1 av 4: Eksplisitte derivater
Trinn 1. Bruk et eksplisitt derivat hvis ligningen din allerede har y på den ene siden
Trinn 2. Koble ligningen til ligningen [f (x + dx) - f (x)]/dx
For eksempel hvis ligningen er y = x2, derivatet vil være [(x + dx)2 - x2]/dx.
Trinn 3. Utvid og fjern dx for å danne ligningen [dx (2x + dx)]/dx
Nå kan du kaste to dx på toppen og bunnen. Resultatet er 2x + dx, og når dx nærmer seg null, er derivatet 2x. Dette betyr at hellingen til en hvilken som helst tangens i grafen y = x2 er 2x. Bare skriv inn x-verdien for punktet du vil finne skråningen for.
Trinn 4. Lær mønstre for å utlede lignende ligninger
Her er noen eksempler.
- Enhver eksponent er effekten ganger verdien, hevet til effekten mindre enn 1. For eksempel derivatet av x5 er 5x4, og derivatet av x3, 5 iis3, 5x2, 5. Hvis det allerede er et tall foran x, bare multipliser det med strømmen. For eksempel derivatet av 3x4 er 12x3.
- Derivatet til en hvilken som helst konstant er null. Så derivatet av 8 er 0.
- Derivatet av summen er summen av de respektive derivatene. For eksempel er derivatet av x3 + 3x2 er 3x2 + 6x.
- Derivatet av produktet er den første faktoren ganger derivatet av den andre faktoren pluss den andre faktoren ganger derivatet av den første faktoren. For eksempel er derivatet av x3(2x + 1) er x3(2) + (2x + 1) 3x2, som er lik 8x3 + 3x2.
- Derivatet til kvoten (si f/g) er [g (derivat av f) - f (derivat av g)]/g2. For eksempel er derivatet av (x2 + 2x - 21)/(x - 3) er (x2 - 6x + 15)/(x - 3)2.
Metode 2 av 4: Implisitte derivater
Trinn 1. Bruk implisitte derivater hvis ligningen din ikke allerede kan skrives med y på den ene siden
Faktisk, hvis du skrev y på den ene siden, ville det være kjedelig å beregne dy/dx. Her er et eksempel på hvordan du kan løse denne typen ligninger.
Trinn 2. I dette eksemplet, x2y + 2y3 = 3x + 2y, erstatt y med f (x), så husker du at y faktisk er en funksjon.
Ligningen blir da x2f (x) + 2 [f (x)]3 = 3x + 2f (x).
Trinn 3. For å finne derivatet av denne ligningen, avled begge sider av ligningen med hensyn til x
Ligningen blir da x2f '(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]2f '(x) = 3 + 2f' (x).
Trinn 4. Erstatt f (x) med y igjen
Vær forsiktig så du ikke erstatter f '(x), som er forskjellig fra f (x).
Trinn 5. Finn f '(x)
Svaret på dette eksemplet blir (3 - 2xy)/(x2 + 6 år2 - 2).
Metode 3 av 4: Higher Order Derivatives
Trinn 1. Utlede en funksjon av høyere orden betyr at du utleder derivatet (til rekkefølge 2)
For eksempel, hvis problemet ber deg om å utlede tredje rekkefølge, er det bare å ta derivatet av derivatet av derivatet. For noen ligninger vil derivatet av høyere orden være 0.
Metode 4 av 4: Kjederegel
Trinn 1. Hvis y er en differensialfunksjon av z, og z er en differensialfunksjon av x, er y en sammensatt funksjon av x, og derivatet av y med hensyn til x (dy/dx) er (dy/du)* (du/dx)
Kjederegelen kan også være en kombinasjon av kraftligninger, slik: (2x4 - x)3. For å finne derivatet, tenk på det som multiplikasjonsregelen. Multipliser ligningen med effekten og reduser med 1 til effekten. Multipliser deretter ligningen med derivatet av ligningen i parentes som øker effekten (i dette tilfellet 2x^4 - x). Svaret på dette spørsmålet er 3 (2x4 - x)2(8x3 - 1).
Tips
- Når du ser et vanskelig problem å løse, ikke bekymre deg. Bare prøv å dele det opp i så mange mindre deler som mulig ved å bruke reglene for multiplikasjon, kvotient, etc. Senk deretter hver del.
- Øv med multiplikasjonsregelen, kvoteringsregelen, kjederegelen og spesielt implisitte derivater, fordi disse reglene er mye vanskeligere i beregning.
- Forstå kalkulatoren din godt; Prøv de forskjellige funksjonene i kalkulatoren for å lære hvordan du bruker dem. Det er veldig nyttig å vite hvordan du bruker tangenter og avledede funksjoner i kalkulatoren hvis de er tilgjengelige.
- Husk de grunnleggende trigonometriske derivatene og hvordan du bruker dem.
