Hvordan forenkle komplekse brøker: 9 trinn (med bilder)

2024 Forfatter: Jason Gerald | [email protected]. Sist endret: 2024-01-15 08:21

En kompleks brøkdel er en brøk der telleren, nevneren eller begge deler også inneholder en brøk. Av denne grunn blir komplekse fraksjoner noen ganger referert til som "stablet brøk". Forenkling av komplekse brøker kan være lett eller vanskelig, avhengig av hvor mange tall som er i telleren og nevneren, om et av tallene er en variabel eller kompleksiteten til det variable tallet. Se trinn 1 nedenfor for å komme i gang!

Steg

Metode 1 av 2: Forenkling av komplekse brøker med omvendt multiplikasjon

Trinn 1. Forenkle teller og nevner til en brøk om nødvendig

Komplekse brøk er ikke alltid vanskelig å løse. Faktisk er komplekse brøker hvis teller og nevner inneholder en enkelt brøk vanligvis ganske enkle å løse. Så hvis telleren eller nevneren (eller begge) i en kompleks brøk inneholder flere brøk eller brøk og et heltall, forenkle det for å få en enkelt brøk i både teller og nevner. Finn det minste felles multiplum (LCM) av to eller flere brøk.

• La oss for eksempel si at vi ønsker å forenkle en kompleks brøk (3/5 + 2/15)/(5/7 - 3/10). Først vil vi forenkle både telleren og nevneren til en kompleks brøk til en enkelt brøk.

  • For å forenkle telleren, bruk LCM 15 oppnådd ved å multiplisere 3/5 med og 3/3. Telleren vil være 9/15 + 2/15, som tilsvarer 11/15.
  • For å forenkle nevneren, vil vi bruke LCM -resultatet på 70 som oppnås ved å multiplisere 5/7 med 10/10 og 3/10 med 7/7. Nevneren vil være 50/70 - 21/70, som tilsvarer 29/70.
  • Dermed er den nye komplekse brøkdelen (11/15)/(29/70).

Trinn 2. Vend nevneren for å finne den gjensidige

Per definisjon er det å dele et tall med et annet det samme som å multiplisere det første tallet med det gjensidige av det andre tallet. Nå som vi har en kompleks brøk med en enkelt brøk i både teller og nevner, vil vi bruke denne divisjonen til å forenkle den komplekse brøken. Finn først det gjensidige av fraksjonen nederst i den komplekse fraksjonen. Gjør dette ved å "snu" brøken - sette telleren i stedet for nevneren og omvendt.

• I vårt eksempel er brøkdelen i nevneren til den komplekse brøken (11/15)/(29/70) 29/70. For å finne det inverse, "inverterer" vi det slik at vi får det 70/29.

  Vær oppmerksom på at hvis en kompleks brøk har et helt tall i nevneren, kan vi behandle det som en brøk og finne det gjensidige. For eksempel, hvis den komplekse brøkdelen er (11/15)/(29), kan vi lage nevneren 29/1, noe som betyr at den gjensidige er 1/29.

Trinn 3. Multipliser telleren til den komplekse brøken med den gjensidige av nevneren

Nå som vi har det gjensidige av nevneren til den komplekse brøken, multipliserer du den med telleren for å få en enkelt brøk. Husk at for å multiplisere to brøk, krysser vi bare multiplisere - telleren til den nye brøken er nummeret til telleren til de to gamle brøkene, samt nevneren.

I vårt eksempel vil vi multiplisere 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 og 15 × 29 = 435. Så, den nye enkle brøkdelen er 770/435.

Trinn 4. Forenkle den nye fraksjonen ved å finne den største fellesfaktoren

Vi har allerede en enkel brøk, så alt vi trenger å gjøre er å finne det enkleste tallet. Finn den største fellesfaktoren (GCF) til telleren og nevneren og del begge med dette tallet for å forenkle det.

En av de vanlige faktorene til 770 og 435 er 5. Så hvis vi deler telleren og nevneren til brøken med 5, får vi 154/87. 154 og 87 har ingen felles faktorer, så det er det endelige svaret!

Metode 2 av 2: Forenkling av komplekse brøker som inneholder variabel tall

Trinn 1. Bruk om mulig multiplikasjonsmetode ovenfor hvis det er mulig

For å være tydelig kan nesten alle komplekse brøker forenkles ved å trekke telleren og nevneren med en enkelt brøk og multiplisere telleren med resiprokalen til nevneren. Komplekse brøker som inneholder variabler er også inkludert, selv om jo mer komplekst uttrykket av variabler i komplekse brøker er, desto vanskeligere og tidkrevende vil det være å bruke omvendt multiplikasjon. For "enkle" komplekse brøker som inneholder variabler, er invers multiplikasjon et godt valg, men komplekse brøker med flere variabel tall i teller og nevner kan være lettere å forenkle på den alternative måten beskrevet nedenfor.

• For eksempel er (1/x)/(x/6) lett å forenkle med invers multiplikasjon. 1/x × 6/x = 6/x². Det er ikke nødvendig å bruke alternative metoder her.
• Imidlertid er (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) vanskeligere å forenkle ved omvendt multiplikasjon. Å redusere teller og nevner av komplekse brøker til enkeltfraksjoner, multiplisere omvendt og redusere resultatet til de enkleste tallene kan være en komplisert prosess. I dette tilfellet kan den alternative metoden nedenfor være enklere.

Trinn 2. Hvis omvendt multiplikasjon ikke er praktisk, starter du med å finne LCM for brøknummeret i den komplekse brøken

Det første trinnet er å finne LCM for alle brøkstallene i en kompleks brøk - både i telleren og nevneren. Vanligvis, hvis ett eller flere brøknummer har et tall i nevneren, er LCM tallet i nevneren.

Dette er lettere å forstå med et eksempel. La oss prøve å forenkle de komplekse brøkene som er nevnt ovenfor, (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))). Brøkstallene i denne komplekse brøkdelen er (1)/(x+3) og (1)/(x-5). LCM for de to brøkene er tallet i nevneren: (x+3) (x-5).

Trinn 3. Multipliser telleren til den komplekse brøkdelen med den nylig funnet LCM

Deretter må vi multiplisere tallet i den komplekse brøkdelen med LCM av brøknummeret. Med andre ord vil vi multiplisere alle komplekse brøk med (KPK)/(KPK). Vi kan gjøre dette uavhengig fordi (KPK)/(KPK) er lik 1. Multipliser først tellerne selv.

• I vårt eksempel vil vi multiplisere den komplekse fraksjonen, (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), dvs. ((x+ 3) (x-5))/((x+ 3) (x-5)). Vi må multiplisere gjennom telleren og nevneren til den komplekse brøken, multiplisere hvert tall med (x + 3) (x-5).

  • La oss først multiplisere tellerne: (((1)/(x+3))+x - 10) × (x+3) (x -5)

    • = (((x+3) (x-5)/(x+3))+x ((x+3) (x-5))-10 ((x+3) (x-5))
    • = (x-5) + (x (x.)² - 2x - 15)) - (10 (x² - 2x - 15))
    • = (x-5) + (x³ - 2x² - 15x) - (10x² - 20x - 150)
    • = (x-5) + x³ - 12x² + 5x + 150
    • = x³ - 12x² +6x +145

Trinn 4. Multipliser nevneren til den komplekse fraksjonen med LCM som du ville gjort med telleren

Fortsett å multiplisere den komplekse fraksjonen med LCM funnet ved å gå videre til nevneren. Multipliser alle, gang hvert tall med LCM.

• Nevneren til vår komplekse brøk, (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), er x +4 +((1) // (x-5)). Vi multipliserer det med LCM funnet, (x+3) (x-5).

  • (x +4 +((1)/(x - 5))) × (x +3) (x -5)
  • = x ((x+3) (x-5))+4 ((x+3) (x-5))+(1/(x-5)) (x+3) (x-5).
  • = x (x² - 2x - 15) + 4 (x² - 2x- 15) + ((x + 3) (x-5))/(x-5)
  • = x³ - 2x² - 15x + 4x² - 8x - 60 + (x + 3)
  • = x³ + 2x² - 23x - 60 + (x + 3)
  • = x³ + 2x² - 22x - 57

Trinn 5. Lag en ny og forenklet brøkdel av den nylig funnet telleren og nevneren

Etter å ha multiplisert brøken med (KPK)/(KPK) og forenklet den ved å kombinere tallene, er resultatet en enkel brøk som ikke inneholder et brøknummer. Vær oppmerksom på at ved å multiplisere med LCM for brøknummeret i den opprinnelige komplekse brøken, vil nevneren til denne brøken bli oppbrukt og la variabeltallet og hele tallet stå i svarets teller og nevner, uten noen brøk.

Med telleren og nevneren funnet ovenfor, kan vi konstruere en brøk som er den samme som den opprinnelige komplekse brøken, men som ikke inneholder brøknummeret. Telleren som ble oppnådd er x³ - 12x² + 6x + 145 og nevneren vi fikk var x³ + 2x² - 22x - 57, så den nye fraksjonen blir (x³ - 12x² + 6x + 145)/(x³ + 2x² - 22x - 57)

Tips

• Vis hvert trinn i jobben. Brøker kan være forvirrende hvis trinnene teller for fort eller prøver å gjøre det utenat.
• Finn eksempler på komplekse brøk på internett eller i bøker. Følg hvert trinn til det kan mestres.