Hvordan forenkle matematiske ligninger: 13 trinn

2024 Forfatter: Jason Gerald | [email protected]. Sist endret: 2024-01-15 08:21

Matematikkstudenter blir ofte bedt om å skrive ned svarene i sin enkleste form - med andre ord å skrive ned svarene så elegant som mulig. Selv om lange, stive og korte, så vel som elegante, ligninger teknisk sett er det samme, regnes ofte et matematisk problem ikke som fullført hvis det endelige svaret ikke reduseres til sin enkleste form. Svaret i sin enkleste form er også nesten alltid den enkleste ligningen å jobbe med. Av denne grunn er det viktig for matematikere å lære å forenkle ligninger.

Steg

Metode 1 av 2: Bruke operasjonsrekkefølge

Trinn 1. Kjenn rekkefølgen på operasjonene

Når du forenkler matematiske uttrykk, kan du ikke bare jobbe fra venstre til høyre, multiplisere, legge til, subtrahere og så videre i rekkefølge fra venstre til høyre. Noen matematiske operasjoner må gå foran andre og gjøres først. Faktisk kan bruk av feil operasjonsrekkefølge gi feil svar. Operasjonsrekkefølgen er: delen i parentes, eksponenten, multiplikasjonen, divisjonen, addisjonen og til slutt subtraksjonen. Et akronym du kan bruke til å huske er Fordi mor ikke er god, ond og dårlig.

Vær oppmerksom på at mens en grunnleggende kunnskap om rekkefølgen av operasjoner kan forenkle de mest grunnleggende ligningene, er det nødvendig med spesielle teknikker for å forenkle mange variable ligninger, inkludert nesten alle polynom. Se den andre metoden nedenfor for mer informasjon

Trinn 2. Start med å fullføre alle seksjonene i parentes

I matematikk indikerer parenteser at den indre delen må beregnes separat fra uttrykket som er utenfor parentesen. Uansett hvilke operasjoner som er inne i parentesene, må du først fullføre delen inne i parentesene når du prøver å forenkle en ligning. For eksempel, i parentes, må du multiplisere før du legger til, trekker fra og så videre.

La oss for eksempel prøve å forenkle ligningen 2x + 4 (5 + 2) + 3² - (3 + 4/2). I denne ligningen må vi først løse delen inne i parentesene, nemlig 5 + 2 og 3 + 4/2. 5 + 2 =

Trinn 7.. 3 + 4/2 = 3 + 2

Trinn 5

Delen i den andre braketten er forenklet til 5 fordi vi i henhold til operasjonsrekkefølgen deler 4/2 først i parentesene. Hvis vi bare jobber fra venstre til høyre, legger vi til 3 og 4 først, deretter dividerer vi med 2, og gir feil svar 7/2
Merk - hvis det er flere parenteser i parenteser, fullfør delen i innerste parentes, deretter den nest innerste, og så videre.

Trinn 3. Løs eksponenten

Etter at du har fullført parentesene, løser du eksponenten for ligningen din. Dette er lett å huske fordi i eksponenter er basenummeret og kraften til strømmen ved siden av hverandre. Finn svaret på hver del av eksponenten, og koble deretter svaret til ligningen for å erstatte eksponentdelen.

Etter å ha fullført delen i parentes, blir vår eksempelligning nå 2x + 4 (7) + 3² - 5. Den eneste eksponentiell i vårt eksempel er 3², som er lik 9. Legg dette resultatet til ligningen for å erstatte 3² resulterer i 2x + 4 (7) + 9 - 5.

Trinn 4. Løs multiplikasjonsproblemet i ligningen din

Gjør deretter den multiplikasjonen som er nødvendig i ligningen din. Husk at multiplikasjon kan skrives på flere måter. × prikken, eller stjernesymbolet er en måte å vise multiplikasjon på. Imidlertid representerer et tall ved siden av parenteser eller en variabel (for eksempel 4 (x)) også en multiplikasjon.

Det er to deler til multiplikasjon i vårt problem: 2x (2x er 2 × x) og 4 (7). Vi vet ikke verdien av x, så vi lar den stå på 2x. 4 (7) = 4 × 7 =

Trinn 28.. Vi kan omskrive ligningen vår til å være 2x + 28 + 9 - 5.

Trinn 5. Fortsett til divisjon

Når du leter etter divisjonsproblemer i ligningene dine, må du huske på at divisjon, som multiplikasjon, kan skrives på flere måter. En av disse er symbolet, men husk at skråstreker og streker som i brøk (f.eks. 3/4) også indikerer divisjon.

Fordi vi allerede har gjort divisjonen (4/2) da vi fullførte delene i parentes. Eksemplet vårt har ikke allerede et delingsproblem, så vi hopper over dette trinnet. Dette viser et viktig poeng - du trenger ikke å utføre alle operasjonene når du forenkler et uttrykk, bare operasjonene i problemet

Trinn 6. Deretter legger du til det som er i ligningen din

Du kan jobbe fra venstre til høyre, men det er lettere å legge opp tallene som er enkle å legge til først. For eksempel, i oppgaven 49 + 29 + 51 + 71, er det lettere å legge til 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 og 100 + 100 = 200, enn 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129 og 129 + 71 = 200.

Eksempelligningen vår er delvis forenklet til 2x + 28 + 9 - 5. Nå må vi legge sammen tallene vi kan legge til - la oss se på hvert tilleggsproblem fra venstre til høyre. Vi kan ikke legge til 2x og 28 fordi vi ikke vet verdien av x, så vi hopper bare over det. 28 + 9 = 37, kan skrives om til 2x + 37 - 5.

Trinn 7. Det siste trinnet i operasjonssekvensen er subtraksjon

Fortsett problemet ditt ved å løse de resterende subtraksjonsproblemene. Du kan kanskje tenke på subtraksjon som å legge til negative tall i dette trinnet, eller bruke de samme trinnene som for et vanlig tilleggsproblem - valget ditt påvirker ikke svaret ditt.

I vårt problem, 2x + 37 - 5, er det bare ett subtraksjonsproblem. 37 - 5 =

Trinn 32.

Trinn 8. Kontroller ligningen

Etter å ha løst ved bruk av operasjonsrekkefølgen, bør ligningen din forenkles til sin enkleste form. Men hvis ligningen din inneholder en eller flere variabler, må du forstå at variablene dine ikke trenger å bli bearbeidet. For å forenkle en variabel må du enten finne verdien av variabelen eller bruke spesielle teknikker for å forenkle uttrykket (se trinn nedenfor).

Vårt endelige svar er 2x + 32. Vi kan ikke løse dette siste tillegget med mindre vi kjenner verdien av x, men hvis vi visste verdien, ville denne ligningen vært mye lettere å løse enn vår lange opprinnelige ligning

Metode 2 av 2: Forenkling av komplekse ligninger

Trinn 1. Legg sammen delene som har samme variabel

Når du løser variable ligninger, husk at deler som har samme variabel og eksponent (eller samme variabel) kan legges til og trekkes fra som normale tall. Denne delen må ha samme variabel og eksponent. For eksempel kan 7x og 5x legges til, men 7x og 5x² kan ikke legges sammen.

Denne regelen gjelder også for noen variabler. For eksempel 2xy² kan summeres med -3xy², men kan ikke summeres med -3x²y eller -3y².
Se ligning x² + 3x + 6 - 8x. I denne ligningen kan vi legge til 3x og -8x fordi de har samme variabel og eksponent. Den enkle ligningen blir x² - 5x + 6.

Trinn 2. Forenkle brøknummer ved å dele eller krysse av faktorene

Brøker som bare har tall (og ingen variabler) i teller og nevner kan forenkles på flere måter. Den første, og kanskje den enkleste, er å tenke på brøken som et delingsproblem og dele nevneren med telleren. Enhver multiplikasjonsfaktor som vises i telleren og nevneren kan også strekes over fordi dividering av de to faktorene resulterer i tallet 1.

Se for eksempel på brøkdelen 36/60. Hvis vi har en kalkulator, kan vi dele den for å få svaret 0, 6. Men hvis vi ikke har en kalkulator, kan vi fortsatt forenkle den ved å krysse av de samme faktorene. En annen måte å forestille seg 36/60 på er (6 × 6)/(6 × 10). Denne brøkdelen kan skrives som 6/6 × 6/10. 6/6 = 1, så vår brøkdel er faktisk 1 × 6/10 = 6/10. Vi er imidlertid ikke ferdige ennå - både 6 og 10 har samme faktor, som er 2. Gjenta metoden ovenfor, blir resultatet 3/5.

Trinn 3. På den variable fraksjonen, kryss av alle faktorene til variabelen

Variable ligninger i brøkform har en unik måte å forenkle. I likhet med vanlige brøker lar variable brøker deg eliminere faktorer som både teller og nevner har til felles. I variable fraksjoner kan disse faktorene imidlertid være tall og ligninger for den faktiske variabelen.

La oss si ligningen (3x² + 3x)/(-3x² + 15x). Denne brøkdelen kan skrives som (x + 1) (3x)/(3x) (5 - x), 3x vises i både teller og nevner. Ved å krysse disse faktorene ut av ligningen, blir resultatet (x + 1)/(5 - x). Samme som i uttrykk (2x² + 4x + 6)/2, siden hver del er delelig med 2, kan vi skrive ligningen som (2 (x² + 2x + 3))/2 og forenkle deretter til x² + 2x + 3.
Vær oppmerksom på at du ikke kan krysse av alle seksjoner - du kan bare krysse av multiplikasjonsfaktorene som vises i teller og nevner. For eksempel, i uttrykket (x (x + 2))/x, kan x krysses ut av både teller og nevner, slik at det blir (x + 2)/1 = (x + 2). Imidlertid kan (x + 2)/x ikke krysses til 2/1 = 2.

Trinn 4. Multipliser delen i parentes med konstanten

Når du multipliserer delen som har variabelen i parentes med en konstant, kan noen ganger multiplisere hver del i parentesene med en konstant resultere i en enklere ligning. Dette gjelder konstanter som bare består av tall og konstanter som har variabler.

For eksempel, ligning 3 (x² + 8) kan forenkles til 3x² + 24, mens 3x (x² + 8) kan forenkles til 3x³ + 24x.
Vær oppmerksom på at i noen tilfeller, for eksempel variable brøker, kan konstanter rundt parentesene strekes over, slik at de ikke trenger å multipliseres med delen i parentesene. I brøk (3 (x² + 8))/3x, for eksempel vises faktoren 3 både i teller og nevner, slik at vi kan krysse av det og forenkle uttrykket til (x² + 8)/x. Dette uttrykket er enklere og lettere å jobbe med enn (3x³ + 24x)/3x, som er resultatet vi får hvis vi multipliserer det.

Trinn 5. Forenkle ved factoring

Factoring er en teknikk som kan brukes til å forenkle noen variable uttrykk, inkludert polynom. Tenk på factoring som det motsatte av å multiplisere med delen i parentes i trinnet ovenfor - noen ganger kan et uttrykk betraktes som to deler som multipliseres med hverandre, snarere enn et enhetsuttrykk. Dette er spesielt sant hvis faktorisering av en ligning lar deg krysse av en av dens deler (som i brøk). I visse tilfeller (ofte med kvadratiske ligninger) kan factoring til og med tillate deg å finne løsningen på ligningen.

La oss igjen anta uttrykket x² - 5x + 6. Dette uttrykket kan regnes med (x - 3) (x - 2). Så hvis x² - 5x + 6 er telleren til en gitt ligning der nevneren har en av disse faktorene, som i uttrykket (x² - 5x + 6)/(2 (x - 2)), vil vi kanskje skrive det i faktorform slik at vi kan krysse av faktoren med nevneren. Med andre ord, i (x - 3) (x - 2)/(2 (x - 2)) kan delen (x - 2) krysses av til (x - 3)/2.
Som påpekt ovenfor, er en annen grunn til at du vil faktorisere ligningene dine at factoring kan gi deg svar på visse ligninger, spesielt hvis de er skrevet som lik 0. For eksempel er ligning x² - 5x + 6 = 0. Factoring gir (x - 3) (x - 2) = 0. Siden et tall multiplisert med null er lik null, vet vi at hvis en del av parentesene er lik null, er hele ligningen til venstre for likhetstegnet er også null. Så det

Trinn 3. da

Steg 2. er de to svarene på ligningen.