Hastighet er definert som hastigheten til et objekt i en bestemt retning. I mange situasjoner, for å finne hastighet, kan vi bruke ligningen v = s/t, hvor v er lik hastighet, s er lik den totale avstanden objektet har beveget seg fra sin opprinnelige posisjon, og t er lik tid. Imidlertid gir denne metoden bare objektets "gjennomsnittlige" hastighetsverdi over dens forskyvning. Ved å bruke beregning kan du beregne hastigheten til et objekt når som helst langs dens forskyvning. Denne verdien kalles "øyeblikkelig hastighet" og kan beregnes ut fra ligningen v = (ds)/(dt), eller, med andre ord, er derivatet av ligningen for gjenstandens gjennomsnittshastighet.
Steg
Metode 1 av 3: Beregning av øyeblikkelig hastighet
Trinn 1. Start med ligningen for hastigheten på objektets forskyvning
For å få verdien av en gjenstands øyeblikkelige hastighet, må vi først ha en ligning som beskriver dens posisjon (når det gjelder forskyvning) på et gitt tidspunkt. Dette betyr at ligningen må ha en variabel s (som står alene) på den ene siden, og t på den annen side (men ikke nødvendigvis frittstående), slik:
s = -1,5t2+10t+4
-
I ligningen er variablene:
-
-
Avvik = s. Det er avstanden reist av objektet fra utgangspunktet. For eksempel, hvis et objekt beveger seg 10 meter fremover og 7 meter bakover, er den totale tilbakelagte distansen 10 - 7 = 3 meter (ikke 10 + 7 = 17 meter).
-
Tid = t. Denne variabelen er selvforklarende. Vanligvis uttrykt i sekunder. # Ta derivatet av ligningen. Derivatet av en ligning er en annen ligning som kan gi stigningsverdien fra et bestemt punkt. For å finne derivatet av formelen for forskyvning av et objekt, utled funksjonen ved å bruke følgende generelle regel: Hvis y = a*x , Derivat = a*n*xn-1. Denne regelen gjelder for alle komponenter som er på "t" -siden av ligningen.
Beregn øyeblikkelig hastighet Trinn 2
-
-
- Med andre ord, begynn med å gå nedover "t" -siden av ligningen fra venstre til høyre. Hver gang du når "t" -verdien, trekker du 1 fra eksponentverdien og multipliserer hele med den opprinnelige eksponenten. Eventuelle konstanter (variabler som ikke inneholder "t") vil gå tapt fordi de multipliseres med 0. Denne prosessen er ikke så vanskelig som man kanskje tror, la oss utlede ligningen i trinnet ovenfor som et eksempel:
s = -1,5t2+10t+4
(2) -1,5 t(2-1)+ (1) 10t1 - 1 + (0) 4t0
-3t1 + 10t0
- 3t + 10
Trinn 2. Erstatt variabelen "s" med "ds/dt
"For å vise at din nye ligning er derivatet av den forrige ligningen, erstatt" s "med" ds/dt ". Teknisk betyr denne notasjonen" derivat av s med hensyn til t. "En enklere måte å forstå dette på er at ds /dt er verdien av skråningen (skråningen) på et hvilket som helst punkt i den første ligningen, for eksempel for å bestemme skråningen til en linje trukket fra ligningen s = -1,5t2 + 10t + 4 ved t = 5, vi kan koble verdien "5" til den derivative ligningen.
- I eksemplet som brukes, vil den første derivatligningen nå se slik ut:
ds/sek = -3t + 10
Trinn 3. Koble verdien av t til den nye ligningen for å få øyeblikkelig hastighetsverdi
Nå som du har den avledede ligningen, er det lett å finne øyeblikkelig hastighet når som helst. Alt du trenger å gjøre er å velge en verdi for t og koble den til din derivatligning. For eksempel, hvis du vil finne øyeblikkelig hastighet på t = 5, kan du erstatte verdien av t med "5" i den avledede ligningen ds/dt = -3 + 10. Løs deretter ligningen slik:
ds/sek = -3t + 10
ds/sek = -3 (5) + 10
ds/sek = -15 + 10 = - 5 meter/sekund
Vær oppmerksom på at enheten som brukes ovenfor er "meter/sekund". Fordi det vi beregner er forskyvning i meter og tid i sekunder (sekunder) og hastighet generelt er forskyvning på en bestemt tid, er denne enheten passende å bruke
Metode 2 av 3: Grafisk estimering av øyeblikkelig hastighet
Trinn 1. Tegn en graf over objektets forskyvning over tid
I avsnittet ovenfor er derivatet nevnt som formelen for å finne skråningen på et gitt punkt for ligningen du utleder. Faktisk, hvis du representerer et objekts forskyvning som en linje på en graf, "er linjens skråning på alle punkter lik verdien av dens øyeblikkelige hastighet på det punktet."
- For å beskrive forskyvningen av et objekt, bruk x for å representere tid og y for å representere forskyvning. Tegn deretter punktene, plugg verdien av t til ligningen din, og få dermed verdien av s for grafen din, merk t, s i grafen som (x, y).
- Vær oppmerksom på at grafen kan strekke seg under x-aksen. Hvis linjen som representerer bevegelsen til objektet ditt når under x-aksen, betyr det at objektet har beveget seg bakover fra utgangsposisjonen. Generelt vil grafen ikke nå baksiden av y -aksen - fordi vi ikke måler hastigheten til et objekt som beveger seg forbi!
Trinn 2. Velg et tilstøtende punkt P og Q på linjen
For å få linjens skråning på et punkt P, kan vi bruke et triks som kalles "å ta grensen". Å ta grensen innebærer to punkter (P og Q, et punkt i nærheten) på den buede linjen og finne linjens skråning ved å koble dem mange ganger til avstandene P og Q kommer nærmere.
La oss si at objektets forskyvningslinje inneholder verdiene (1, 3) og (4, 7). I dette tilfellet, hvis vi vil finne skråningen på punktet (1, 3), kan vi bestemme (1, 3) = P og (4, 7) = Q.
Trinn 3. Finn stigningen mellom P og Q
Skråningen mellom P og Q er forskjellen i y-verdier for P og Q langs verdiforskjellen x-aksen for P og Q. Med andre ord, H = (ySp - yP)/(xSp - xP), der H er stigningen mellom de to punktene. I vårt eksempel er verdien av skråningen mellom P og Q
H = (ySp- yP)/(xSp- xP)
H = (7 - 3)/(4 - 1)
H = (4)/(3) = 1.33
Trinn 4. Gjenta flere ganger, flytt Q nærmere P
Målet ditt er å redusere avstanden mellom P og Q for å ligne en prikk. Jo nærmere avstanden mellom P og Q, jo nærmere er linjens skråning ved punkt P. Gjør dette flere ganger med ligningen som et eksempel, ved hjelp av punkter (2, 4.8), (1.5, 3.95) og (1.25, 3.49) som Q og utgangspunktet (1, 3) som P:
Q = (2, 4.8):
H = (4,8 - 3)/(2 - 1)
H = (1,8)/(1) = 1.8
Q = (1,5, 3,95):
H = (3,95 - 3)/(1,5 - 1)
H = (.95)/(.5) = 1.9
Q = (1,25, 3,49):
H = (3,49 - 3)/(1,25 - 1)
H = (.49)/(.. 25) = 1.96
Trinn 5. Estimere skråningen på linjen for en veldig liten avstand
Etter hvert som Q kommer nærmere P, kommer H nærmere og nærmere verdien av skråningen på punktet P. Til slutt, når den når en veldig liten verdi, er H lik skråningen til P. Siden vi ikke kan måle eller beregne svært små avstander, vi kan bare estimere stigningen på P etter at det er klart fra punktet vi prøver.
- I eksemplet, når vi flytter Q nærmere P, får vi verdier på 1,8, 1,9 og 1,96 for H. Siden disse tallene er nær 2, kan vi si at 2 er den omtrentlige skråningen til P.
- Husk at stigningen på et gitt punkt på linjen er lik derivatet av linjens ligning. Siden linjen som brukes, viser forskyvningen av et objekt over tid, og fordi som vi så i forrige avsnitt, er den øyeblikkelige hastigheten til et objekt derivatet av dets forskyvning på et gitt punkt, kan vi også oppgi at "2 meter/sekund "er den omtrentlige verdien av momentanhastigheten ved t = 1.
Metode 3 av 3: Eksempel på spørsmål
Trinn 1. Finn verdien av momentanhastigheten ved t = 4, fra forskyvningsligningen s = 5t3 - 3t2 +2t+9.
Dette problemet er det samme som eksemplet i den første delen, bortsett fra at denne ligningen er en terningligning, ikke en kraftligning, så vi kan løse dette problemet på samme måte.
- Først tar vi derivatet av ligningen:
- Skriv deretter inn verdien til t (4):
s = 5t3- 3t2+2t+9
s = (3) 5t(3 - 1) - (2) 3t(2 - 1) + (1) 2t(1 - 1) + (0) 9t0 - 1
15t(2) - 6t(1) + 2t(0)
15t(2) - 6t + 2
s = 15t(2)- 6t + 2
15(4)(2)- 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 meter/sekund
Trinn 2. Bruk et grafisk estimat for å finne momentanhastigheten ved (1, 3) for deplasjonsligningen s = 4t2 - t.
For dette problemet vil vi bruke (1, 3) som punktet P, men vi må definere et annet punkt ved siden av det punktet som punktet Q. Så trenger vi bare å bestemme verdien av H og gjøre et estimat.
- Finn først verdien av Q først ved t = 2, 1,5, 1,1 og 1,01.
- Deretter bestemmer du verdien av H:
- Siden verdien av H er veldig nær 7, kan vi si det 7 meter/sekunder den omtrentlige momentane hastigheten ved (1, 3).
s = 4t2- t
t = 2:
s = 4 (2)2- (2)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, altså Q = (2, 14)
t = 1,5:
s = 4 (1,5)2 - (1.5)
4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, altså Q = (1,5, 7,5)
t = 1,1:
s = 4 (1,1)2 - (1.1)
4 (1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74, altså Q = (1,1, 3,74)
t = 1,01:
s = 4 (1,01)2 - (1.01)
4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, så Q = (1.01, 3.0704)
Q = (2, 14):
H = (14 - 3)/(2 - 1)
H = (11)/(1) =
Trinn 11.
Q = (1,5, 7,5):
H = (7,5 - 3)/(1,5 - 1)
H = (4,5)/(. 5) =
Trinn 9.
Q = (1,1, 3,74):
H = (3,74 - 3)/(1,1 - 1)
H = (.74)/(. 1) = 7.3
Q = (1.01, 3.0704):
H = (3.0704 - 3)/(1.01 - 1)
H = (.0704)/(. 01) = 7.04
Tips
- For å finne verdien av akselerasjon (endring i hastighet over tid), bruk metoden i den første delen for å få ligningen for derivatet av forskyvningsfunksjonen. Lag deretter den avledede ligningen igjen, denne gangen fra den avledede ligningen din. Dette vil gi deg ligningen for å finne akselerasjonen til enhver tid, alt du trenger å gjøre er å skrive inn tidsverdien din.
- Ligningen som angir verdien av Y (forskyvning) til X (tid) kan være veldig enkel, for eksempel Y = 6x + 3. I dette tilfellet er stigningsverdien konstant, og det er ikke nødvendig å finne derivatet for å beregne det, hvor Y = mx + b ifølge ligningen til en rett linje er 6.
- Forskyvning ligner avstand, men har en retning, så forskyvning er en vektormengde, mens avstand er en skalær mengde. Forskyvningsverdien kan være negativ, men avstanden vil alltid være positiv.
