Hver funksjon har to variabler, nemlig den uavhengige variabelen og den avhengige variabelen. Bokstavelig talt er verdien av den avhengige variabelen "avhengig" av den uavhengige variabelen. For eksempel, i funksjonen y = f (x) = 2 x + y, er x den uavhengige variabelen og y er den avhengige variabelen (med andre ord, y er en funksjon av x). Gyldige verdier for den kjente variabelen x kalles "opprinnelsesdomener." Gyldige verdier for den kjente y -variabelen kalles "resultatområdet".
Steg
Del 1 av 3: Finne domenet til en funksjon
Trinn 1. Bestem hvilken type funksjon du skal utføre
Domenet til funksjonen er alle x-verdier (horisontal akse) som returnerer gyldige y-verdier. Funksjonens ligning kan være en kvadratisk, en brøkdel eller inneholde en rot. For å beregne domenet til funksjonen, er det første du må gjøre å undersøke variablene i ligningen.
- En kvadratisk funksjon har formen ax2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4
- Eksempler på funksjoner med brøk inkluderer: f (x) = (1/x), f (x) = (x+1)/(x - 1), og andre.
- Funksjoner som har røtter inkluderer: f (x) = x, f (x) = (x2 + 1), f (x) = -x, og så videre.
Trinn 2. Skriv ned domenet med riktig notasjon
Å skrive domenet til en funksjon innebærer bruk av firkantede parenteser [,] så vel som parenteser (,). Bruk firkantede parenteser [,] hvis tallet tilhører domenet og bruk parenteser (,) hvis domenet ikke inkluderer tallet. Bokstaven U betegner en forening som forbinder deler av domenet som kan skilles med en avstand.
- For eksempel inkluderer domenet til [-2, 10) U (10, 2] -2 og 2, men inkluderer ikke tallet 10.
- Bruk alltid parenteser () hvis du bruker uendelig -symbolet,.
Trinn 3. Tegn en graf over den kvadratiske ligningen
Kvadratiske ligninger gir en parabolsk graf som åpner seg opp eller ned. Med tanke på at parabolen vil fortsette uendelig på x-aksen, er domenet til de fleste kvadratiske ligninger alle reelle tall. Sagt på en annen måte, en kvadratisk ligning inkluderer alle x-verdiene på tallinjen, og gir domenet R (symbol for alle reelle tall).
- For å løse funksjonen, velg hvilken som helst x-verdi og skriv den inn i funksjonen. Å løse en funksjon med en x-verdi vil returnere en y-verdi. Verdiene til x og y er (x, y) koordinatene til en graf over funksjonen.
- Plott disse koordinatene på en graf og gjenta prosessen med en annen x-verdi.
- Å plotte noen av verdiene i denne modellen vil gi deg en oversikt over formen på den kvadratiske funksjonen.
Trinn 4. Hvis ligningen av funksjonen er en brøkdel, gjør nevneren lik null
Når du jobber med brøk, kan du aldri dele på null. Ved å gjøre nevneren lik null og finne verdien av x, kan du beregne verdiene som skal trekkes ut av funksjonen.
- For eksempel: Bestem domenet til funksjonen f (x) = (x+1)/(x - 1).
- Nevneren til funksjonen er (x - 1).
- Gjør nevneren lik null og beregne verdien av x: x - 1 = 0, x = 1.
- Skriv ned domenet: Domenet til funksjonen inkluderer ikke 1, men inkluderer alle reelle tall unntatt 1; derfor er domenet (-∞, 1) U (1,).
- (-∞, 1) U (1,) kan leses som en samling av alle reelle tall unntatt 1. Symbolet for uendelig,, representerer alle reelle tall. I dette tilfellet er alle reelle tall større enn 1 og mindre enn 1 inkludert i domenet.
Trinn 5. Hvis ligningen er en rotfunksjon, gjør du rotvariablene større enn eller lik null
Du kan ikke bruke kvadratroten til et negativt tall; Derfor må enhver x-verdi som fører til et negativt tall fjernes fra funksjonens domene.
- For eksempel: Finn domenet til funksjonen f (x) = (x + 3).
- Variablene i roten er (x + 3).
- Gjør verdien større enn eller lik null: (x + 3) 0.
- Beregn verdien for x: x -3. Løs for x: x -3.
- Domenet til funksjonen inkluderer alle reelle tall større enn eller lik -3; derfor er domenet [-3,).
Del 2 av 3: Finne rekkevidden til en kvadratisk ligning
Trinn 1. Kontroller at du har en kvadratisk funksjon
Den kvadratiske funksjonen har formen ax2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4. Grafen til den kvadratiske funksjonen er en parabel som åpnes opp eller ned. Det er forskjellige måter å beregne rekkevidden på funksjonen avhengig av hvilken funksjonstype du jobber med.
Den enkleste måten å bestemme rekkevidden av andre funksjoner, for eksempel en rotfunksjon eller en brøkfunksjon, er å tegne funksjonen ved hjelp av en grafisk kalkulator
Trinn 2. Finn x-verdien til funksjonens toppunkt
Toppunktet til en kvadratisk funksjon er toppunktet til parabolen. Husk at formen for den kvadratiske funksjonen er ax2 + bx + c. For å finne x -koordinaten bruker du ligningen x = -b/2a. Ligningen er et derivat av en grunnleggende kvadratisk funksjon som representerer en ligning med nullhelling/helling (ved toppunktet i grafen er gradienten til funksjonen null).
- Finn for eksempel rekkevidden på 3x2 + 6x -2.
- Beregn x -koordinaten til toppunktet: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1
Trinn 3. Beregn y-verdien til funksjonens toppunkt
Koble x-koordinaten til funksjonen for å beregne den tilsvarende y-verdien til toppunktet. Denne y-verdien angir grensen for funksjonsområdet.
- Beregn y-koordinaten: y = 3x2 + 6x-2 = 3 (-1)2 + 6(-1) -2 = -5.
- Toppunktet for denne funksjonen er (-1, -5).
Trinn 4. Bestem retningen til parabolen ved å koble til minst en x-verdi til
Velg en annen x-verdi og koble den til funksjonen for å beregne riktig y-verdi. Hvis y-verdien er over toppunktet, fortsetter parabelen til +∞. Hvis y -verdien er under toppunktet, vil parabolen fortsette til -∞.
- Bruk x -verdi -2: y = 3x2 + 6x-2 = y = 3 (-2)2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
- Denne beregningen returnerer koordinatene (-2, -2).
- Disse koordinatene viser deg at parabolen fortsetter over toppunktet (-1, -5); derfor inkluderer området alle y -verdier høyere enn -5.
- Rekkevidden til denne funksjonen er [-5,).
Trinn 5. Skriv ned området med riktig notasjon
Som domener er områder skrevet med samme notasjon. Bruk firkantede parenteser [,] hvis tallet er i området, og bruk parenteser (,) hvis området ikke inkluderer tallet. Bokstaven U angir en forening som forbinder deler av området som kan skilles med en avstand.
- For eksempel inkluderer området [-2, 10) U (10, 2] -2 og 2, men inkluderer ikke tallet 10.
- Bruk alltid parenteser hvis du bruker uendelig -symbolet,.
Del 3 av 3: Finne rekkevidden fra grafen til en funksjon
Trinn 1. Tegn funksjonen
Ofte er den enkleste måten å bestemme rekkevidden til en funksjon å tegne den. Mange rotfunksjoner har et område (-∞, 0] eller [0, +∞) fordi toppunktet til den horisontale parabolen (sidelengs parabel) er på den horisontale x-aksen. I dette tilfellet inkluderer funksjonen alle positive y-verdier hvis parabolen åpnes, eller alle negative y-verdier hvis parabolen åpnes nedover. Brøkfunksjoner vil ha asymptoter (linjer som aldri blir kuttet av en rett linje / kurve, men som er nærmet seg uendelig) som definerer funksjonsområdet.
- Noen rotfunksjoner starter over eller under x-aksen. I dette tilfellet bestemmes området av tallet der rotfunksjonen starter. Hvis parabolen starter på y = -4 og går opp, er området [-4, +∞).
- Den enkleste måten å tegne en funksjon på er å bruke et grafprogram eller en grafisk kalkulator.
- Hvis du ikke har en grafisk kalkulator, kan du tegne en grov skisse av grafen ved å koble x-verdien til funksjonen og få den riktige y-verdien. Plott disse koordinatene på en graf for å få en ide om hvordan grafen ser ut.
Trinn 2. Finn minimumsverdien av funksjonen
Umiddelbart etter at du har tegnet funksjonen, bør du klart kunne se det laveste punktet i grafen. Hvis det ikke er noen klar minimumsverdi, vet du at noen funksjoner fortsetter ved -∞ (uendelig).
En brøkfunksjon vil inkludere alle punkter bortsett fra punktene på asymptotene. Funksjonen har et område som (-∞, 6) U (6,)
Trinn 3. Bestem maksimal verdi for funksjonen
Igjen, etter å ha tegnet grafen, bør du kunne identifisere maksimumspunktet for funksjonen. Noen funksjoner vil fortsette med +∞ og vil derfor ikke ha en minimumsverdi.
Trinn 4. Skriv området med riktig notasjon
Som domener er områder skrevet med samme notasjon. Bruk firkantede parenteser [,] hvis tallet er i området, og bruk parenteser (,) hvis området ikke inkluderer tallet. Bokstaven U angir en forening som forbinder deler av området som kan skilles med en avstand.
- For eksempel inkluderer området [-2, 10) U (10, 2] -2 og 2, men inkluderer ikke tallet 10.
- Bruk alltid parenteser hvis du bruker uendelig -symbolet,.
