To brøk er ekvivalente hvis de har samme verdi. Å vite hvordan man konverterer brøker til sine tilsvarende former er en ekstremt viktig matematikkferdighet, nødvendig for alle former for matematikk fra grunnleggende algebra til avansert beregning. Denne artikkelen vil gi flere måter å beregne ekvivalente brøker fra grunnleggende multiplikasjon og divisjon til mer komplekse måter å løse ekvivalente brøkligninger på.
Steg
Metode 1 av 5: Ordne ekvivalente fraksjoner
Trinn 1. Multipliser teller og nevner med samme tall
To forskjellige, men likeverdige brøk, har per definisjon en teller og en nevner som er multipler av hverandre. Med andre ord vil multiplisering av teller og nevner av en brøk med samme tall gi ekvivalente brøker. Selv om tallene i den nye brøkdelen vil være forskjellige, vil brøkene ha samme verdi.
- For eksempel, hvis vi tar brøkdelen 4/8 og multipliserer teller og nevner med 2, får vi (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16. Disse to fraksjonene er ekvivalente.
- (4 × 2)/(8 × 2) er faktisk det samme som 4/8 × 2/2. Husk at når vi multipliserer to brøker, multipliserer vi rett, det vil si telleren med telleren og nevneren med nevneren.
- Legg merke til at 2/2 er lik 1 hvis du gjør divisjonen. Dermed er det lettere å forstå hvorfor 4/8 og 8/16 er ekvivalente fordi multiplisering av 4/8 × (2/2) = forblir 4/8. På samme måte er det det samme som å si 4/8 = 8/16.
- En gitt brøk har et uendelig antall ekvivalente brøker. Du kan multiplisere både teller og nevner med et hvilket som helst heltall, uavhengig av størrelse eller liten, for å få en tilsvarende brøk.
Trinn 2. Del teller og nevner med samme tall
I likhet med multiplikasjon kan divisjon også brukes til å finne en ny brøkdel som tilsvarer din opprinnelige brøk. Bare del telleren og nevneren til en brøk med det samme tallet for å få den tilsvarende brøken. Det er en ulempe ved denne prosessen - den siste brøkdelen må ha heltall i både teller og nevner for å være sann.
La oss for eksempel se tilbake på 4/8. Hvis vi i stedet for å multiplisere deler både teller og nevner med 2, får vi (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 og 4 er heltall, så disse ekvivalente brøkene er sanne
Metode 2 av 5: Bruke grunnleggende multiplikasjon for å bestemme likhet
Trinn 1. Finn tallet som må multipliseres med den mindre nevneren for å få den større nevneren
Mange problemer med fraksjoner innebærer å bestemme om to brøk er ekvivalente. Ved å beregne dette tallet kan du begynne å sette likhetstegn med brøkbetingelsene for å bestemme likhet.
- For eksempel, bruk brøkene 4/8 og 8/16 på nytt. Den mindre nevneren er 8, og vi må multiplisere tallet med 2 for å få den større nevneren, som er 16. Så tallet i dette tilfellet er 2.
- For vanskeligere tall kan du dele den større nevneren med den mindre nevneren. I dette tilfellet er 16 delt på 8, som fortsatt gir 2.
- Tallet er ikke alltid et heltall. For eksempel, hvis nevnerne er 2 og 7, er tallet 3, 5.
Trinn 2. Multipliser telleren og nevneren til brøken som har den mindre termen med tallet fra det første trinnet
To forskjellige, men likeverdige brøk har per definisjon teller og nevner som er multipler av hverandre. Med andre ord, vil multiplisere teller og nevner av en brøk med samme tall gi en ekvivalent brøk. Selv om tallene i denne nye brøkdelen vil være forskjellige, vil disse brøkene ha samme verdi.
For eksempel, hvis vi bruker brøkdelen 4/8 fra trinn ett og multipliserer teller og nevner med tallet vi definerte tidligere, som er 2, får vi (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16. Dette resultatet viser at disse to fraksjonene er ekvivalente.
Metode 3 av 5: Bruke grunnleggende divisjon for å bestemme likhet
Trinn 1. Tell hver brøk som et desimalnummer
For enkle brøk uten variabler kan du representere hver brøk som et desimaltall for å bestemme likhet. Siden hver brøkdel faktisk er et delingsproblem, er dette den enkleste måten å bestemme likestilling på.
- Bruk for eksempel brøkdelen vi brukte tidligere, 4/8. Brøken 4/8 tilsvarer å si 4 dividert med 8, som er 4/8 = 0,5. Du kan også løse det andre eksemplet, som er 8/16 = 0,5. Uansett vilkårene i en brøk, er brøken ekvivalent hvis begge tallene er like når de er representert i desimal.
- Husk at desimaluttrykk kan ha flere sifre før likheten er åpenbar. Som et grunnleggende eksempel gjentas 1/3 = 0,333 mens 3/10 = 0,3. Ved å bruke mer enn ett siffer ser vi at disse to brøkene ikke er ekvivalente.
Trinn 2. Del telleren og nevneren til en brøk med det samme tallet for å få en ekvivalent brøk
For mer komplekse fraksjoner krever divisjonsmetoden flere trinn. Mens du med multiplikasjon kan dele telleren og nevneren til en brøk med det samme tallet for å få en ekvivalent brøk. Det er en ulempe med denne prosessen. Den siste fraksjonen må ha heltall i både teller og nevner for å være sann.
La oss for eksempel se tilbake på 4/8. Hvis vi i stedet for å multiplisere, teller og nevner med 2, får vi (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 og 4 er heltall, så disse ekvivalente brøkene er sanne.
Trinn 3. Forenkle brøkene til deres enkleste vilkår
De fleste brøkene er vanligvis skrevet i deres enkleste termer, og du kan konvertere brøker til deres enkleste form ved å dele med den største fellesfaktoren (GCF). Dette trinnet utføres i samme logikk som å skrive ekvivalente brøker, og konvertere dem til samme nevner, men denne metoden prøver å forenkle hver brøkdel til sine minste mulige termer.
- Når en brøkdel er i sin enkleste form, har teller og nevner de minste mulige verdiene. Begge kan ikke deles med et helt tall for å få den mindre verdien. For å konvertere en brøkdel som ikke er i sin enkleste form til sin enkleste ekvivalente form, deler vi telleren og nevneren med deres største fellesfaktor.
-
Den største fellesfaktoren (GCF) til telleren og nevneren er det største tallet som deler dem for å gi et heltall. Så, i vårt 4/8 eksempel, fordi
Trinn 4. er det største tallet som er delbart med 4 og 8, vil vi dele telleren og nevneren til vår brøk med 4 for å få de enkleste vilkårene. (4 4)/(8 4) = 1/2. For vårt andre eksempel, 8/16, er GCF 8, som også returnerer verdien 1/2 som det enkleste uttrykket for en brøk.
Metode 4 av 5: Bruke kryssprodukter for å finne variabler
Trinn 1. Ordne de to fraksjonene slik at de er like med hverandre
Vi bruker kryssmultiplikasjon for matematiske problemer der vi vet at brøkene er ekvivalente, men ett av tallene er erstattet av en variabel (vanligvis x) som vi må løse. I slike tilfeller vet vi at disse brøkene er ekvivalente fordi de er de eneste begrepene på den andre siden av likhetstegnet, men ofte er måten å finne variabelen ikke åpenbar. Heldigvis, med kryssmultiplikasjon, er det enkelt å løse denne typen problemer.
Trinn 2. Ta to ekvivalente fraksjoner og multipliser dem med en "X" -form
Med andre ord multipliserer du telleren til en brøk med nevneren til en annen brøk og omvendt, deretter ordner de to svarene slik at de matcher hverandre og løser.
Ta våre to eksempler, 4/8 og 8/16. Ingen av dem har en variabel, men vi kan bevise konseptet fordi vi allerede vet at de er likeverdige. Ved kryssmultiplikasjon får vi 4/16 = 8 x 8, eller 64 = 64, noe som er sant. Hvis disse to tallene ikke er like, er brøkene ikke ekvivalente
Trinn 3. Legg til variabler
Siden kryssmultiplikasjon er den enkleste måten å bestemme ekvivalente brøker når du må finne variabler, la oss legge til variabler.
-
La oss for eksempel bruke ligningen 2/x = 10/13. For å krysse multiplisere multipliserer vi 2 med 13 og 10 med x, og setter deretter svarene våre like til hverandre:
- 2 × 13 = 26
- 10 × x = 10x
- 10x = 26. Herfra er svaret på variabelen vårt et enkelt algebraproblem. x = 26/10 = 2, 6, noe som gjør den første ekvivalente fraksjonen 2/2, 6 = 10/13.
Trinn 4. Bruk kryssmultiplikasjon for flervariabel brøk eller variable uttrykk
Noe av det beste med kryssmultiplikasjon er at det faktisk fungerer på samme måte, enten du jobber med to enkle brøker (som ovenfor) eller mer komplekse brøker. For eksempel, hvis begge brøkene har variabler, trenger du bare å eliminere disse variablene i løsningsprosessen. På samme måte, hvis brøkets teller eller nevner har et variabelt uttrykk (som x + 1), bare "multipliser" den ved å bruke den distribuerende egenskapen og løs som vanlig.
-
La oss for eksempel bruke ligningen ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4). I dette tilfellet, som ovenfor, løser vi det med kryssprodukt:
- (x + 3) × 4 = 4x + 12
- (x + 1) × 2 = 2x + 2
- 2x + 2 = 4x + 12, så kan vi forenkle brøkdelen ved å trekke 2x fra begge sider
- 2 = 2x + 12, så isolerer vi variabelen ved å trekke 12 fra begge sider
- -10 = 2x, og divider med 2 for å finne x
- - 5 = x
Metode 5 av 5: Bruke kvadratiske formler for å finne variabler
Trinn 1. Kryss de to fraksjonene
For likestillingsproblemer som krever en kvadratisk formel, begynner vi fortsatt med å bruke kryssprodukt. Imidlertid vil ethvert kryssprodukt som innebærer å multiplisere vilkårene i en variabel med vilkårene i en annen variabel sannsynligvis resultere i et uttrykk som ikke lett kan løses ved hjelp av algebra. I slike tilfeller må du kanskje bruke teknikker som factoring og/eller kvadratiske formler.
-
La oss for eksempel se på ligningen ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)). La oss først krysse multiplisere:
- (x + 1) × (2x - 2) = 2x2 + 2x -2x - 2 = 2x2 - 2
- 4 × 3 = 12
- 2x2 - 2 = 12.
Trinn 2. Skriv ligningen som en kvadratisk ligning
I denne delen vil vi skrive denne ligningen i kvadratisk form (ax2 + bx + c = 0), som vi gjør ved å sette ligningen lik null. I dette tilfellet trekker vi 12 fra begge sider for å få 2x2 - 14 = 0.
Noen verdier kan være lik 0. Selv om 2x2 - 14 = 0 er den enkleste formen for vår ligning, den virkelige kvadratiske ligningen er 2x2 + 0x + (-14) = 0. Det kan være nyttig i begynnelsen å skrive ned den kvadratiske ligningens form, selv om noen verdier er lik 0.
Trinn 3. Løs ved å koble tallene fra den kvadratiske ligningen til den kvadratiske formelen
Kvadratisk formel (x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a) vil hjelpe oss med å finne vår x -verdi i denne delen. Ikke vær redd for lengden på formelen. Du tar bare verdiene fra den kvadratiske ligningen i trinn to og legger dem på de riktige stedene før du løser dem.
- x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a. I vår ligning er 2x2 - 14 = 0, a = 2, b = 0 og c = -14.
- x = (-0 +/- (02 - 4(2)(-14)))/2(2)
- x = (+/- (0 - -112))/2 (2)
- x = (+/- (112))/2 (2)
- x = (+/- 10,58/4)
- x = +/- 2, 64
Trinn 4. Kontroller svaret ditt ved å angi verdien av x på nytt i den kvadratiske ligningen
Ved å koble den beregnede x -verdien tilbake til den kvadratiske ligningen fra trinn to, kan du enkelt avgjøre om du fikk svaret riktig. I dette eksemplet kobler du 2, 64 og -2, 64 til den opprinnelige kvadratiske ligningen.
Tips
- Å konvertere en brøk til ekvivalenten er faktisk en form for å multiplisere en brøk med 1. Ved å konvertere 1/2 til 2/4 er multiplikasjon av teller og nevner med 2 det samme som å multiplisere 1/2 med 2/2, som tilsvarer 1.
-
Hvis ønskelig, konverter det blandede tallet til en vanlig brøk for å gjøre konverteringen enklere. Selvfølgelig vil ikke alle brøkene du kommer over være like enkle som å konvertere vårt 4/8 eksempel ovenfor. For eksempel kan blandede tall (som 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3, etc.) gjøre konverteringsprosessen litt mer komplisert. Hvis du må konvertere et blandet tall til en vanlig brøk, kan du gjøre dette på to måter: ved å konvertere det blandede tallet til en vanlig brøk, og deretter konvertere det som vanlig, eller ved å opprettholde formen for blandede tall og få svar i form av blandede tall.
- For å konvertere til en vanlig brøk, multipliser heltallskomponenten i det blandede tallet med nevneren til brøkdelen og legg deretter til telleren. For eksempel 1 2/3 = ((1 × 3) + 2)/3 = 5/3. Deretter kan du om nødvendig endre det etter behov. For eksempel 5/3 × 2/2 = 10/6, som forblir lik 1 2/3.
- Vi trenger imidlertid ikke å konvertere den til en vanlig brøkdel som ovenfor. Ellers lar vi heltallskomponenten være i fred, endrer bare brøkdelskomponenten og legger til heltallskomponenten uendret. For eksempel, for 3 4/16, ser vi bare 4/16. 4/16 4/4 = 1/4. Så, ved å legge våre heltallskomponenter tilbake, får vi et nytt blandet tall, 3 1/4.
Advarsel
- Multiplikasjon og divisjon kan brukes for å få ekvivalente brøker fordi multiplikasjon og divisjon med brøkformen av tallet 1 (2/2, 3/3, etc.) gir et svar som tilsvarer den opprinnelige brøken, per definisjon. Addisjon og subtraksjon kan ikke brukes.
-
Selv om du multipliserer tellerne og nevnerne når du multipliserer brøker, legger du ikke til eller trekker nevnerne når du legger til eller trekker brøk.
For eksempel, ovenfor, vet vi at 4/8 4/4 = 1/2. Hvis vi legger til innen 4/4, får vi et helt annet svar. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 eller 3/2, de er ikke lik 4/8.
